Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(d) D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\\\ 2 & -3 & -1 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 2 & -3 & -1\\\\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}
Isso envolve verificar se D é invertível. Para uma matriz 3\times3, ela é invertível se, e somente se, \det(D)\neq0. Se \det(D)=0, concluímos que a inversa não existe.

Passo 2

Vamos calcular \det(D) pelo método da primeira linha:
\det(D) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada determinante de 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =-3\cdot3 -(-1)\cdot1=-9+1=-8,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3 -(-1)\cdot4=6+4=10,
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 -(-3)\cdot4=2+12=14.
Substituindo:
\det(D)=1\cdot(-8) - 2\cdot10 + 2\cdot14 = -8 -20 +28 = 0.

Passo 4

Como \det(D)=0, a matriz D é singular e, portanto, não possui inversa.

Resposta

A matriz D não é invertível, logo a inversa não existe.

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