Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(c) C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 2 & -2 & -2 \\\\ -3 & 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 2 & -2 & -2\\\\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Isso envolve duas partes principais: (i) verificar se C é invertível calculando \det\text{(C)} e (ii) usar o método do adjunto (matriz de cofatores transposta) para obter C^{-1}.

Passo 2

Calcular o determinante de C por expansão na primeira linha:
\det\text{(C)} =1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\\ 0 & 2\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -3 & 0\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =-2\cdot2-(-2)\cdot0=-4, \quad \det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -3 & 0\end{pmatrix} =2\cdot0-(-2)\cdot(-3)=-6.
Logo,
\det\text{(C)}=1\cdot(-4)+(-2)\cdot(-6)=-4+12=8\neq0,
portanto C é invertível.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores \bigl(C_{ij}\bigr). Calculamos cada cofactor C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, em que M_{ij} é o menor correspondente. O resultado é
\operatorname{cof}\text{(C)} =\begin{pmatrix} -4 & 2 & -6\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ -4 & -2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz adjunta (adjugada) é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}\text{(C)} =\bigl(\operatorname{cof}\text{(C)}\bigr)^{T} =\begin{pmatrix} -4 & 0 & -4\\\\ 2 & -4 & -2\\\\ -6 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Por definição,
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\,\operatorname{adj}\text{(C)} =\frac{1}{8} \begin{pmatrix} -4 & 0 & -4\\\\ 2 & -4 & -2\\\\ -6 & 0 & -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\\ \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\\\ -\tfrac{3}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.

Resposta

C^{-1} =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2}\\\ \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\\\ -\tfrac{3}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.

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