Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(b) B=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 4 & 7 \\\\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
B=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 4 & 7\\\\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
Estamos no conteúdo de inversão de matrizes quadradas, e para saber se a inversa existe precisamos calcular \det(B). Se \det(B)\neq0, a inversa existe e vale B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B); se \det(B)=0, a inversa não existe.

Passo 2

Vamos calcular \det(B) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(B) =2\cdot\det\begin{pmatrix}4&7\\\ 2&5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3&7\\\ 1&5\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&2\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora avaliamos cada determinante 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}4&7\\\ 2&5\end{pmatrix} =4\cdot5-7\cdot2=20-14=6,
\det\begin{pmatrix}3&7\\\ 1&5\end{pmatrix} =3\cdot5-7\cdot1=15-7=8,
\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&2\end{pmatrix} =3\cdot2-4\cdot1=6-4=2.
Substituindo em \det(B):
\det(B)=2\cdot6-2\cdot8+2\cdot2=12-16+4=0.

Passo 4

Como \det(B)=0, a matriz B é singular e não possui inversa.

Resposta

A inversa de B não existe, pois \det(B)=0.

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