Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
Temos uma função definida em (0,1) por partes e nosso objetivo é estendê-la para (-1,1) de forma par e ímpar. O conteúdo aqui é extensão de funções: para a parte par usamos f_par(x)=f(x) se x>0 e f_par(x)=f(-x) se x<0; para a parte ímpar usamos f_impar(x)=f(x) se x>0 e f_impar(x)=-f(-x) se x<0, definindo também f_impar(0)=0.
Passo 2
Para obter a extensão par, note que f_par(x)=f(|x|) captura a simetria em torno da origem. Basta substituir x por |x| na definição original. Assim, sempre que |x| satisfaz 0<|x|<½ temos f_par(x)=1, e quando ½≤|x|<1 temos f_par(x)=0.
Passo 3
Escrevendo a extensão par em forma de função por partes, temos:
Esse f_par é par, pois depende só de |x|.
Passo 4
Para a extensão ímpar, usamos f_impar(x)=
Na nossa peça original f(x) vale 1 em (0,½) e 0 em [½,1), então para x<0 teremos f_impar(x)=-f(-x): se -½< x<0 então -x em (0,½) e f_impar(x)=-1; se |x|≥½ então f_impar(x)=0.
Na nossa peça original f(x) vale 1 em (0,½) e 0 em [½,1), então para x<0 teremos f_impar(x)=-f(-x): se -½< x<0 então -x em (0,½) e f_impar(x)=-1; se |x|≥½ então f_impar(x)=0.
Passo 5
Escrevendo a extensão ímpar em forma de função por partes, temos:
Esse f_ímpar é ímpar porque f_ímpar(-x)=-f_ímpar(x).
Resposta
Extensão par:
Extensão ímpar: