Encontre a expressão da derivada seguinte
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 d z

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a derivada, em relação a , da integral . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma integral com limite superior que depende de . Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que está sendo integrada. Aqui, a função é . A integral representa a área sob a curva de desde até .

Passo 3

Para derivar essa integral em relação a , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integranda avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite. Além disso, como o limite superior é , precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, temos:
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 , dz = 2raiz1+(u^2)^2 cdot dd u (u^2)

Passo 5

Calculamos a derivada de dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 , dz = 2raiz1+u^4 cdot 2u , que é . Substituindo na expressão, fica:

Passo 6

Simplificando os termos, temos:
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 , dz = 4uraiz1+u^4

Resposta

A derivada da integral é .

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