Encontre a expressão geral para a velocidade do som em um fluido.
Passo 1
O enunciado pede a expressão geral da velocidade do som em um fluido. Aqui vamos usar dois conteúdos principais:
- As equações de conservação (continuidade e Euler) em regime de pequenas perturbações.
- A relação termodinâmica entre pressão e densidade para um processo adiabático (já que as ondas sonoras se propagam rápido demais para troca de calor).
Passo 2
Começamos definindo campos de pequena perturbação sobre um estado estacionário uniforme
:
com
muito menores que
.
A equação da continuidade linearizada em uma dimensão fica
A equação da continuidade linearizada em uma dimensão fica
e a equação de Euler linearizada é
Passo 3
Para fechar o sistema, usamos que a compressão ocorre adiabaticamente, logo
Isto vale porque as flutuações são rápidas e não há tempo para troca de calor com o meio.
Passo 4
Agora eliminamos
. Diferenciando a continuidade em
e usando Euler:
Substituindo
obtém-se a equação de onda
o que mostra que
Passo 5
Concluímos que a velocidade do som em qualquer fluido é
No caso de gás perfeito,
e o processo adiabático dá
, logo