Encontre a expressão geral para a velocidade do som em um fluido.

Passo 1

O enunciado pede a expressão geral da velocidade do som em um fluido. Aqui vamos usar dois conteúdos principais:
  1. As equações de conservação (continuidade e Euler) em regime de pequenas perturbações.
  2. A relação termodinâmica entre pressão e densidade para um processo adiabático (já que as ondas sonoras se propagam rápido demais para troca de calor).

Passo 2

Começamos definindo campos de pequena perturbação sobre um estado estacionário uniforme rho0,p0:
rho(x,t)=rho0+rho'(x,t), p(x,t)=p0+p'(x,t), v(x,t)=v'(x,t),
com rho',p',v' muito menores que rho0,p0.
A equação da continuidade linearizada em uma dimensão fica
partial rho'partial t + rho0,partial v'partial x=0,
e a equação de Euler linearizada é
rho0,partial v'partial t + partial p'partial x=0

Passo 3

Para fechar o sistema, usamos que a compressão ocorre adiabaticamente, logo
p'=l(partial ppartial rhor)s!rho'
Isto vale porque as flutuações são rápidas e não há tempo para troca de calor com o meio.

Passo 4

Agora eliminamos v'. Diferenciando a continuidade em t e usando Euler:
partial^2 rho'partial t^2 = -rho0,partialpartial tl(partial v'partial xr) = -rho0,partialpartial xl(partial v'partial tr) = partial^2 p'partial x^2
Substituindo p'=(partial p/partial rho)s,rho' obtém-se a equação de onda
partial^2 rho'partial t^2 = l(partial ppartial rhor)s partial^2 rho'partial x^2,
o que mostra que
c^2 = l(partial ppartial rhor)s

Passo 5

Concluímos que a velocidade do som em qualquer fluido é
c = raizl(partial ppartial rhor)s
No caso de gás perfeito, p=rho R T e o processo adiabático dá (partial p/partial rho)s=gamma p/rho, logo
c = raizgamma prho = raizgamma R T

Resposta

c = raizl(partial ppartial rhor)s (>=ral), c = raizgamma prho=raizgamma R T (gás perfeito) á

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