Considere que uma onda sonora se propaga em fluido na direção
, gerando perturbações na pressão § e na densidade (
) do meio. Sabe-se que, nesta situação, as partículas do fluido se comportam como osciladores harmônicos e deslocam-se ao longo da direção de propagação com uma função u(x,t). Considere
e
os respectivos valores de densidade e pressão do fluido na ausência da onda sonora.
a) A função u(x,t) implica que, para um dado instante de tempo t, o deslocamento de cada partícula depende de sua posição. Desta forma, encontre a relação entre dependência do deslocamento com sua posição
e a razão
.
b) Encontre a taxa de variação da pressão com a densidade neste fluido na presença da onda sonora.
c) Sabe-se que a diferença de pressão entre as partículas do fluido ao longo da direção de propagação (
) pode acelerá-las. Encontre a relação entre a aceleração e
.
a) A função u(x,t) implica que, para um dado instante de tempo t, o deslocamento de cada partícula depende de sua posição. Desta forma, encontre a relação entre dependência do deslocamento com sua posição
b) Encontre a taxa de variação da pressão com a densidade neste fluido na presença da onda sonora.
c) Sabe-se que a diferença de pressão entre as partículas do fluido ao longo da direção de propagação (
Passo 1
O enunciado descreve uma onda sonora unidimensional em que as pequenas perturbações de densidade e pressão em torno de
e
geram deslocamentos
das partículas do fluido. Para resolver vamos usar três ideias principais: conservação de massa (continuidade), lei adiabática do fluido (relação
–
) e a 2ª lei de Newton (Euler unidimensional).
Passo 2
Para relacionar
e
usamos conservação de massa. Num elemento de comprimento original
, após o deslocamento tem-se
Como massa
é constante,
, vem
Logo a variação de densidade
satisfaz
ou equivalentemente
Passo 3
Num fluido sem trocas de calor (adiabático) vale
. Para pequenas perturbações lineares,
onde
é a velocidade do som. Como
, temos
Passo 4
A 2ª lei de Newton para uma fatia unidimensional do fluido dá
Assim, a aceleração
fica relacionada ao gradiente de pressão por
Resposta
(a)
, isto é
.
(b)
(c)
(b)
(c)