Considere que uma onda sonora se propaga em fluido na direção x, gerando perturbações na pressão § e na densidade ( de<a ) do meio. Sabe-se que, nesta situação, as partículas do fluido se comportam como osciladores harmônicos e deslocam-se ao longo da direção de propagação com uma função u(x,t). Considere rho0 e p0 os respectivos valores de densidade e pressão do fluido na ausência da onda sonora.
a) A função u(x,t) implica que, para um dado instante de tempo t, o deslocamento de cada partícula depende de sua posição. Desta forma, encontre a relação entre dependência do deslocamento com sua posição partial u / partial x e a razão rho0 / de<a.
b) Encontre a taxa de variação da pressão com a densidade neste fluido na presença da onda sonora.
c) Sabe-se que a diferença de pressão entre as partículas do fluido ao longo da direção de propagação ( partial p / partial x ) pode acelerá-las. Encontre a relação entre a aceleração e partial p / partial x.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda sonora unidimensional em que as pequenas perturbações de densidade e pressão em torno de rho0 e p0 geram deslocamentos u(x,t) das partículas do fluido. Para resolver vamos usar três ideias principais: conservação de massa (continuidade), lei adiabática do fluido (relação p rho) e a 2ª lei de Newton (Euler unidimensional).

Passo 2

Para relacionar partial u/partial x e de<a usamos conservação de massa. Num elemento de comprimento original dx0, após o deslocamento tem-se
dx = dx0 + l[u(x0+dx0,t)-u(x0,t)r]approx dx0l(1+partial u/partial xr)
Como massa =rho,dx é constante, rho,dx = rho0,dx0, vem
rhorho0 =dx0dx =11+partial u/partial x approx 1-partial upartial x
Logo a variação de densidade de<a=rho-rho0 satisfaz
de<a = -rho0,partial upartial x,
ou equivalentemente
partial upartial x=-de<arho0

Passo 3

Num fluido sem trocas de calor (adiabático) vale pproptorho^gamma. Para pequenas perturbações lineares,
partial ppartial rho =gamma,p0rho0 equiv c^2,
onde c é a velocidade do som. Como de<a=rho-rho0, temos
partial ppartial de<a =partial ppartial rho =gamma,p0rho0

Passo 4

A 2ª lei de Newton para uma fatia unidimensional do fluido dá
rho0,partial^2upartial t^2 = -partial ppartial x
Assim, a aceleração partial^2u/partial t^2 fica relacionada ao gradiente de pressão por
partial^2upartial t^2 =-1rho0,partial ppartial x

Resposta

(a) de<a=-rho0,dfracpartial upartial x, isto é dfracpartial upartial x=-dfracde<arho0.
(b) dfracpartial ppartial de<a=dfracpartial ppartial rho=gamma,dfracp0rho0=c^2
(c) dfracpartial^2upartial t^2=-dfrac1rho0,dfracpartial ppartial x

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