Encontre
dado:
Passo 1
O enunciado dá a função racional em
e pede para encontrar a função
correspondente (ou seja, a transformada inversa do que foi fornecido). Informações relevantes que temos: o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é fatorado como
; o fator
é repetido de ordem 3. A resolução começará por decompor
em frações parciais adequadas para aplicar inversão.
Passo 2
Vou usar decomposição em frações parciais apropriada a um denominador com um fator simples
e um fator repetido
. Regra prática para frações parciais: quando há um fator linear simples
aparece um termo
; quando há um fator linear repetido
precisamos de termos
. Assim, fazemos a hipótese
Explico rapidamente o porquê: somando essas frações obtemos um único numerador sobre
; escolher essa forma facilita encontrar constantes
que tornem a identidade verdadeira para todo
.
Passo 3
Multiplico a identidade pela denominação comum
para obter uma igualdade polinomial sem denominadores:
Agora uso valores especiais de
que anulam fatores para achar rapidamente algumas constantes.
Tomando
(anula o fator
) obtemos
logo
Tomando
(anula
) obtemos
logo
Passo 4
Para achar
e
vou expandir os termos e comparar coeficientes. Primeiro expando
:
Então
Para o segundo bloco, escrevo
como um polinômio:
Multiplicando por
e usando a regra
, obtemos
Somando com
temos o polinômio completo à direita:
Esse polinômio deve ser igual ao polinômio à esquerda
, cujos coeficientes são: coeficiente de
igual a
, de
igual a
, de
igual a
e termo constante
.
Comparando coeficientes começamos por
:
Como já achamos
, então
Agora coeficiente de
:
Substituindo
e
:
Verifico coerência com coeficiente de
usando
já conhecido:
Substituindo
,
,
,
:
está consistente.
Portanto encontramos todas as constantes:
Passo 5
Substituindo as constantes na decomposição em frações parciais, obtemos
Passo 6
Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Relembre as fórmulas básicas (são ferramentas que você deve decorar para a prova):
Aqui
é uma constante (por exemplo
ou
),
é a variável do domínio temporal, e
é a ordem do polo repetido. A segunda fórmula vem da propriedade da transformada de potências multiplicadas pelo exponencial, e vale para derivadas sucessivas na variável
; mas para a aplicação prática basta decorar o resultado:
vira
,
vira
, etc.
Passo 7
Aplico as regras a cada termo de
:
- Para
: inversa é (aqui ). - Para
: inversa é (aqui ). - Para
: inversa é . - Para
: inversa é .
Somando os termos obtemos
Podemos agrupar os termos com
se quisermos apresentar de forma fatorada: