Encontre f(t) dado:
F(s)=\frac{2 s^{2}+4 s+1}{(s+1)(s+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função racional em s
F(s)=\frac{2 s^{2}+4 s+1}{(s+1)(s+2)^{3}}
e pede para encontrar a função f(t) correspondente (ou seja, a transformada inversa do que foi fornecido). Informações relevantes que temos: o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é fatorado como (s+1)(s+2)^{3}; o fator (s+2) é repetido de ordem 3. A resolução começará por decompor F(s) em frações parciais adequadas para aplicar inversão.

Passo 2

Vou usar decomposição em frações parciais apropriada a um denominador com um fator simples (s+1) e um fator repetido (s+2)^{3}. Regra prática para frações parciais: quando há um fator linear simples (s+a) aparece um termo \dfrac{A}{s+a}; quando há um fator linear repetido (s+a)^{n} precisamos de termos \dfrac{B_{1}}{s+a}+\dfrac{B_{2}}{(s+a)^{2}}+\cdots+\dfrac{B_{n}}{(s+a)^{n}}. Assim, fazemos a hipótese
F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}+\frac{D}{(s+2)^{3}}.
Explico rapidamente o porquê: somando essas frações obtemos um único numerador sobre (s+1)(s+2)^{3}; escolher essa forma facilita encontrar constantes A,B,C,D que tornem a identidade verdadeira para todo s.

Passo 3

Multiplico a identidade pela denominação comum (s+1)(s+2)^{3} para obter uma igualdade polinomial sem denominadores:
2s^{2}+4s+1 = A(s+2)^{3} + (s+1)\bigl(B(s+2)^{2}+C(s+2)+D\bigr).
Agora uso valores especiais de s que anulam fatores para achar rapidamente algumas constantes.
Tomando s=-1 (anula o fator (s+1)) obtemos
2(-1)^{2}+4(-1)+1 = A( -1+2)^{3} \quad\Rightarrow\quad -1 = A\cdot 1,
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A = -1.
Tomando s=-2 (anula (s+2)^{3}) obtemos
2(-2)^{2}+4(-2)+1 = ( -2+1)\,D \quad\Rightarrow\quad 1 = -D,
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D = -1.

Passo 4

Para achar B e C vou expandir os termos e comparar coeficientes. Primeiro expando (s+2)^{3}:
(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8.
Então
A(s+2)^{3}=A s^{3}+6A s^{2}+12A s+8A.
Para o segundo bloco, escrevo B(s+2)^{2}+C(s+2)+D como um polinômio:
B(s+2)^{2}+C(s+2)+D = B s^{2} + (4B+C)s + (4B+2C+D).
Multiplicando por (s+1) e usando a regra (s+1)(a s^{2}+b s + c)=a s^{3}+(a+b)s^{2}+(b+c)s + c, obtemos
(s+1)\bigl(B(s+2)^{2}+C(s+2)+D\bigr) = B s^{3} + (5B+C)s^{2} + (8B+3C+D)s + (4B+2C+D).
Somando com A(s+2)^{3} temos o polinômio completo à direita:
(A+B)s^{3} + \bigl(6A+5B+C\bigr)s^{2} + \bigl(12A+8B+3C+D\bigr)s + \bigl(8A+4B+2C+D\bigr).
Esse polinômio deve ser igual ao polinômio à esquerda 2s^{2}+4s+1, cujos coeficientes são: coeficiente de s^{3} igual a 0, de s^{2} igual a 2, de s igual a 4 e termo constante 1.
Comparando coeficientes começamos por s^{3}:
A+B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-A.
Como já achamos A=-1, então
B = -(-1) = 1.
Agora coeficiente de s^{2}:
6A+5B+C = 2.
Substituindo A=-1 e B=1:
6(-1)+5(1)+C = -6+5+C = -1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 3.
Verifico coerência com coeficiente de s usando D já conhecido:
12A+8B+3C+D = 4.
Substituindo A=-1, B=1, C=3, D=-1:
12(-1)+8(1)+3(3)+(-1) = -12+8+9-1 = 4,
está consistente.
Portanto encontramos todas as constantes:
A=-1,\quad B=1,\quad C=3,\quad D=-1.

Passo 5

Substituindo as constantes na decomposição em frações parciais, obtemos
F(s)=\frac{-1}{s+1}+\frac{1}{s+2}+\frac{3}{(s+2)^{2}}-\frac{1}{(s+2)^{3}}.

Passo 6

Agora precisamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Relembre as fórmulas básicas (são ferramentas que você deve decorar para a prova):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\} = \frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{-a t}\quad\text{para inteiro }n\ge 1.
Aqui a é uma constante (por exemplo a=1 ou a=2), t é a variável do domínio temporal, e n é a ordem do polo repetido. A segunda fórmula vem da propriedade da transformada de potências multiplicadas pelo exponencial, e vale para derivadas sucessivas na variável s; mas para a aplicação prática basta decorar o resultado: 1/(s+a)^{2} vira t e^{-a t}, 1/(s+a)^{3} vira t^{2}/2\,e^{-a t}, etc.

Passo 7

Aplico as regras a cada termo de F(s):
  • Para \dfrac{-1}{s+1}: inversa é -e^{-t} (aqui a=1).
  • Para \dfrac{1}{s+2}: inversa é e^{-2t} (aqui a=2).
  • Para \dfrac{3}{(s+2)^{2}}: inversa é 3\cdot t e^{-2t}.
  • Para -\dfrac{1}{(s+2)^{3}}: inversa é -\dfrac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}.
Somando os termos obtemos
f(t) = -e^{-t} + e^{-2t} + 3\,t e^{-2t} - \frac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}.
Podemos agrupar os termos com e^{-2t} se quisermos apresentar de forma fatorada:
f(t) = -e^{-t} + \left(1 + 3t - \tfrac{t^{2}}{2}\right)e^{-2t}.

Resposta

f(t) = -e^{-t} + e^{-2t} + 3\,t e^{-2t} - \dfrac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}

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