Obtenha a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=\left(4+3 e^{-2 t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\left(4+3 e^{-2 t}\right) u(t)
e pede que se obtenha a transformada de Laplace dessa função. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(t) é 4+3e^{-2t} multiplicada pelo degrau unitário u(t).
  • O degrau unitário u(t) vale 0 para t<0 e vale 1 para t\ge 0. Assim, a função está definida para t\ge 0 como f(t)=4+3e^{-2t}.
    A partir daqui vamos calcular passo a passo a transformada de Laplace de f(t).

Passo 2

Definição (fórmula) e interpretação do que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função g(t) (para funções nulas em t<0) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Essa integral só converge para valores de s que satisfaçam certas condições (vamos explicitar a região de convergência quando surgir). Intuitivamente, multiplicamos g(t) por e^{-st} e integramos de 0 a \infty.

Passo 3

Propriedade importante (linearidade), que facilita muito o cálculo: para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Aqui podemos aplicar a linearidade já que f(t)=4\cdot 1 + 3\cdot e^{-2t} para t\ge 0. Portanto vamos calcular separadamente \mathcal{L}\{4\} e \mathcal{L}\{e^{-2t}\} (ambos multiplicados por u(t), que apenas garante integração a partir de 0).

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{4\}. Escrevemos a integral:
\mathcal{L}\{4\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 4\,dt=4\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Agora calculamos a integral básica \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt. Fazer a primitiva e o limite:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{T}=\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-sT}+\frac{1}{s}\right).
Esse limite só é zero em e^{-sT} quando \Re(s)>0, pois então e^{-sT}\to 0 quando T\to\infty. Assim, para \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}.
Voltando,
\mathcal{L}\{4\}(s)=4\cdot\frac{1}{s}=\frac{4}{s},\qquad \text{válido para }\Re(s)>0.á

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{3e^{-2t}\}. Escrevemos a integral:
\mathcal{L}\{3e^{-2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 3e^{-2t}\,dt=3\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt.
Novamente usamos a integral básica \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt. Pelo mesmo raciocínio,
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt=\frac{1}{s+2},
desde que a parte real de s+2 seja positiva, isto é, \Re(s)+2>0 ou \Re(s)>-2. Portanto
\mathcal{L}\{3e^{-2t}\}(s)=3\cdot\frac{1}{s+2}=\frac{3}{s+2},\qquad \text{válido para }\Re(s)>-2.á

Passo 6

Combinação final usando linearidade: somando as duas partes obtidas,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{4\}(s)+\mathcal{L}\{3e^{-2t}\}(s)=\frac{4}{s}+\frac{3}{s+2}.
A região de convergência deve ser a interseção das regiões onde cada termo converge. Para \frac{4}{s} precisamos de \Re(s)>0; para \frac{3}{s+2} precisamos de \Re(s)>-2. A interseção é \Re(s)>0. Portanto a expressão é válida para \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{4}{s}+\frac{3}{s+2},\quad \Re(s)>0

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