Obtenha a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se obtenha a transformada de Laplace dessa função. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é multiplicada pelo degrau unitário . - O degrau unitário
vale para e vale para . Assim, a função está definida para como .
A partir daqui vamos calcular passo a passo a transformada de Laplace de.
Passo 2
Definição (fórmula) e interpretação do que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
(para funções nulas em
) é definida por
onde
é uma variável complexa. Essa integral só converge para valores de
que satisfaçam certas condições (vamos explicitar a região de convergência quando surgir). Intuitivamente, multiplicamos
por
e integramos de
a
.
Passo 3
Propriedade importante (linearidade), que facilita muito o cálculo: para constantes
e funções
,
Aqui podemos aplicar a linearidade já que
para
. Portanto vamos calcular separadamente
e
(ambos multiplicados por
, que apenas garante integração a partir de
).
Passo 4
Cálculo de
. Escrevemos a integral:
Agora calculamos a integral básica
. Fazer a primitiva e o limite:
Esse limite só é zero em
quando
, pois então
quando
. Assim, para
,
Voltando,
Passo 5
Cálculo de
. Escrevemos a integral:
Novamente usamos a integral básica
. Pelo mesmo raciocínio,
desde que a parte real de
seja positiva, isto é,
ou
. Portanto
Passo 6
Combinação final usando linearidade: somando as duas partes obtidas,
A região de convergência deve ser a interseção das regiões onde cada termo converge. Para
precisamos de
; para
precisamos de
. A interseção é
. Portanto a expressão é válida para
.