Dado que:
, determine
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação integro-diferencial
com a condição inicial
Vou assumir que
é a função degrau unitário, ou seja
para
(essa é a interpretação padrão em controle/sistemas). A pergunta é: determinar
para
.
Passo 2
Escolha do método e ideias principais (sem resolver ainda). Vou usar a transformada de Laplace porque ela transforma derivadas e integrais em expressões algébricas em
, o que facilita eliminar a integral
. Breve lembrete das propriedades que vou usar:
onde
. Essas fórmulas são diretas da definição da transformada de Laplace e da propriedade da transformada da integral.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace térmica (termo a termo) na equação dada:
Substituindo as fórmulas do Passo 2 e usando
:
Como
, isso fica
Passo 4
Reorganizando a equação algébrica para resolver
. Coloco os termos em
juntos:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Portanto
Passo 5
Preparar para inverter a transformada: escrevo o denominador em forma completando quadrado:
Reescrevo o numerador em termos de
: como
,
Assim
Passo 6
Identifico as transformadas inversas padrão. Sabendo que
posso inverter cada termo de
.
O primeiro termo é
, cuja inversa é
.
O segundo termo tem inversa
.
Portanto, somando com o sinal apropriado:
O primeiro termo
O segundo termo
Portanto, somando com o sinal apropriado:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (checagem de consistência): em
,
concorda com a condição dada. Derivando
e avaliando em
dá
, que também é consistente com a equação original avaliada em
(pode-se checar substituindo em
porque a integral é zero em
).