Dado que:
\frac{d v(t)}{d t}+2 v(t)+5 \int_{0}^{t} v(\tau) d \tau=4 u(t)
\operatorname{com} v(0)=-1, determine v(t).

Passo 1

O enunciado fornece a equação integro-diferencial
\frac{d v(t)}{d t}+2\,v(t)+5\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau = 4\,u(t)
com a condição inicial
v(0)=-1.
Vou assumir que u(t) é a função degrau unitário, ou seja u(t)=1 para t\ge 0 (essa é a interpretação padrão em controle/sistemas). A pergunta é: determinar v(t) para t\ge 0.

Passo 2

Escolha do método e ideias principais (sem resolver ainda). Vou usar a transformada de Laplace porque ela transforma derivadas e integrais em expressões algébricas em s, o que facilita eliminar a integral \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Breve lembrete das propriedades que vou usar:
\mathcal{L}\{v'(t)\}=sV(s)-v(0),
\mathcal{L}\Big\{\int_0^t v(\tau)\,d\tau\Big\}=\frac{V(s)}{s},
\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s},
onde V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}. Essas fórmulas são diretas da definição da transformada de Laplace e da propriedade da transformada da integral.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace térmica (termo a termo) na equação dada:
\mathcal{L}\{v'(t)\} + 2\mathcal{L}\{v(t)\} +5\mathcal{L}\Big\{\int_0^t v(\tau)\,d\tau\Big\} = 4\mathcal{L}\{u(t)\}.
Substituindo as fórmulas do Passo 2 e usando v(0)=-1:
\big(sV(s)-v(0)\big) + 2V(s) + 5\frac{V(s)}{s} = \frac{4}{s}.
Como v(0)=-1, isso fica
sV(s)+1 + 2V(s) + \frac{5}{s}V(s) = \frac{4}{s}.

Passo 4

Reorganizando a equação algébrica para resolver V(s). Coloco os termos em V(s) juntos:
V(s)\left(s+2+\frac{5}{s}\right) = \frac{4}{s}-1.
Multiplico ambos os lados por s para eliminar o denominador:
V(s)\big(s^2+2s+5\big)=4 - s.
Portanto
V(s)=\frac{4-s}{s^2+2s+5}.

Passo 5

Preparar para inverter a transformada: escrevo o denominador em forma completando quadrado:
s^2+2s+5=(s+1)^2+4.
Reescrevo o numerador em termos de (s+1): como s=(s+1)-1,
4-s = 4-[(s+1)-1]=5-(s+1).
Assim
V(s)=\frac{5-(s+1)}{(s+1)^2+4} = \frac{5}{(s+1)^2+4} - \frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 6

Identifico as transformadas inversas padrão. Sabendo que
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}=\frac{2}{(s+1)^2+2^2},
posso inverter cada termo de V(s).
O primeiro termo \dfrac{5}{(s+1)^2+4} é \dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{2}{(s+1)^2+4}, cuja inversa é \dfrac{5}{2}e^{-t}\sin(2t).
O segundo termo \dfrac{s+1}{(s+1)^2+4} tem inversa e^{-t}\cos(2t).
Portanto, somando com o sinal apropriado:
v(t)=\frac{5}{2}e^{-t}\sin(2t) - e^{-t}\cos(2t),\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checagem de consistência): em t=0,
v(0)=\frac{5}{2}\cdot 0 - 1 = -1,
concorda com a condição dada. Derivando v(t) e avaliando em t=0 v'(0)=6, que também é consistente com a equação original avaliada em t=0 (pode-se checar substituindo em \,v'(0)+2v(0)=4 porque a integral é zero em t=0).

Resposta

v(t)=e^{-t}\Big(\tfrac{5}{2}\sin(2t)-\cos(2t)\Big),\qquad t\ge 0.

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