Encontre os fasores equivalentes das expressões abaixo
b) z(\mathbf{t})=24 \cdot \operatorname{sen}(\omega \cdot t)

Passo 1

O enunciado dá a função senoidal
z(\mathbf{t}) = 24\cdot \operatorname{sen}(\omega \cdot t)
e pede os fasores equivalentes dessa expressão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude (valor de pico) da senoide é 24.
  • A fase explícita da senoide é 0 (isto é, \sin(\omega t + 0)).
  • Há uma imagem anexa (ver seção de imagens ao final).

Passo 2

O que é um fasor e como o obtemos (explicação didática e passo a passo):
  • Um fasor é uma representação complexa (número complexo) que descreve a amplitude e a fase de uma senoide no domínio de frequência, usando a convenção de tempo harmônico \cos(\omega t) como referência.
  • Para uma senoide genérica de pico X_m e fase \varphi,
x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi),
o fasor (no domínio de amplitude de pico) é
X = X_m\angle \varphi,
ou, em forma exponencial complexa,
X = X_m e^{j\varphi}.
  • Se preferirmos o fasor em valor eficaz (RMS), divide-se a amplitude de pico por \sqrt{2}:
X_{\mathrm{rms}}=\frac{X_m}{\sqrt{2}}\angle \varphi.
  • Observação importante sobre seno versus cosseno: usa-se normalmente cosseno como referência. Há a identidade trigonométrica fundamental
\sin(\theta)=\cos\!\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right).
Isto significa que uma senoide pode ser reescrita como um cosseno com deslocamento de fase de -\frac{\pi}{2} (ou -90^\circ).

Passo 3

Aplicando a identidade seno→cosseno ao sinal dado:
24\sin(\omega t) = 24\cos\!\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right).
Portanto, visto na forma X_m\cos(\omega t+\varphi), temos:
  • amplitude de pico X_m = 24,
  • fase \varphi = -\dfrac{\pi}{2} (isto é, -90^\circ).

Passo 4

Escrever o fasor na forma fasorial (amplitude de pico, referência cosseno):
  • Em forma polar:
Z = 24\angle -\frac{\pi}{2}\quad\text{(ou }24\angle -90^\circ\text{)}.
  • Em forma retangular/exponencial:
Z = 24 e^{-j\pi/2}.
Calculemos e^{-j\pi/2}: sabemos que e^{-j\pi/2}=\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)+j\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=0-j=-j. Logo
Z = 24(-j) = -24\,j.

Passo 5

Fasor em valor eficaz (RMS): dividir amplitude de pico por \sqrt{2}.
  • Amplitude RMS:
\frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\approx 16{,}97.
  • Em forma polar (RMS):
Z_{\mathrm{rms}} = 12\sqrt{2}\angle -\frac{\pi}{2}.
  • Em forma retangular (RMS):
Z_{\mathrm{rms}} = -12\sqrt{2}\,j.

Passo 6

Observação final útil para prova (tom descontraído e motivador):
  • Se por acaso o enunciado aceitasse référence ao seno (ou se alguém usa fasor baseado em seno), a representação seria simplesmente 24\angle 0^\circ na convenção “referência = seno”. Porém, o padrão mais comum é usar cosseno como referência; por isso as respostas acima com -90^\circ.
  • Boa! Essa conversão é um padrão que aparece muito em circuitos e em sinais senoidais — decorar a identidade \sin(\theta)=\cos(\theta-\pi/2) e a equivalência e^{\pm j\pi/2}=\pm j ajuda muito.

Resposta

Z = 24\angle -\dfrac{\pi}{2} = -24\,j
Z_{\mathrm{rms}} = 12\sqrt{2}\angle -\dfrac{\pi}{2} = -12\sqrt{2}\,j
(Se a referência fosse seno, o fasor seria 24\angle 0^\circ.)

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