Dada a expressão do campo elétrico de uma onda eletromagnética
E_{x}(t, z)=E_{x 0} e^{-\alpha z} \cdot \cos (\omega t-\beta z)
Relacione às formas de onda com as seguintes situações:
a) Onda se propagando em meio livre em \mathrm{z}=0
b) Onda com baixa atenuação
c) Onda se propagando em meio livre em \mathrm{z}=\lambda / 4
d) Onda com alta atenuação

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede relacionar uma(s) forma(s) de onda com as situações:
    a) Onda se propagando em meio livre em \mathrm{z}=0
    b) Onda com baixa atenuação
    c) Onda se propagando em meio livre em \mathrm{z}=\lambda/4
    d) Onda com alta atenuação
  • A expressão dada para o campo elétrico é E_{x}(t,z)=E_{x0}\,e^{-\alpha z}\cdot\cos\!\big(\omega t-\beta z\big).
  • Foi fornecida uma figura identificada como forma de onda \text{(C)}. A resolução a seguir vai usar a informação visível nessa imagem (valores de amplitude relativa, comportamento ao longo do tempo e fase inicial).

Passo 2

Entendendo o termo de amplitude: o que significa E_{x0}e^{-\alpha z}.
  • A constante \alpha é o coeficiente de atenuação espacial (unidade: \text{m}^{-1} típicamente).
  • O fator e^{-\alpha z} determina a amplitude da onda em função da posição z:
    • Se \alpha é pequeno (próximo de zero), e^{-\alpha z}\approx 1 por distâncias típicas e a amplitude praticamente não decai com z: esse é o caso de baixa atenuação.
    • Se \alpha é grande, e^{-\alpha z} decai rapidamente com z e a amplitude diminui visivelmente conforme a onda se propaga: esse é o caso de alta atenuação.
  • Como identificar no gráfico: baixa atenuação → a envelopante da amplitude (picos) permanece quase constante ao longo do tempo. alta atenuação → os picos formam uma envelopante que cai rapidamente.

Passo 3

Entendendo o termo de fase: \cos(\omega t-\beta z) e o papel de \beta e \lambda.
  • \beta é o número de onda espacial; para uma onda em um meio homogêneo e não dispersivo vale \beta=\frac{2\pi}{\lambda},onde \lambda é o comprimento de onda.
  • A fase espacial \beta z introduz um deslocamento de fase da oscilação temporal quando se observa a onda em diferentes posições z.
  • Casos importantes:
    • Em z=0 a oscilação é \cos(\omega t). Em t=0 isso vale \cos(0)=1: a curva começa no valor máximo positivo.
    • Em z=\lambda/4 temos \beta z=\beta(\lambda/4)=\tfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4}=\frac{\pi}{2}. Então a oscilação é \cos\!\big(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin(\omega t).Em t=0 isso vale \sin(0)=0: a curva começa em zero (cruzamento pelo eixo) com inclinação positiva.
  • Portanto, observar a condição inicial (valor no tempo inicial mostrado no gráfico) permite inferir se a posição corresponde a z=0 (começa em máximo) ou a z=\lambda/4 (começa em zero).

Passo 4

Como reconhecer visualmente as quatro situações pedidas:
  • (a) z=0: a forma de onda tem, em t=0 (ou na extremidade esquerda do trecho mostrado), o valor máximo positivo (pico); os picos repetem com amplitude proporcional a E_{x0}e^{-\alpha\cdot 0}=E_{x0}.
  • (c) z=\lambda/4: a forma de onda começa por um cruzamento por zero em t=0 (já que \cos(\omega t-\pi/2)=\sin\omega t).
  • (b) baixa atenuação: a amplitude dos picos ao longo do gráfico praticamente não decai; a envoltória é quase constante.
  • (d) alta atenuação: a amplitude dos picos decai rapidamente com z; a envoltória mostra uma queda pronunciada.

Passo 5

Análise específica da forma de onda marcada \text{(C)} na figura (usando observações visuais da imagem):
  • Observação da fase inicial: o traço, no limite esquerdo da figura, inicia em um valor próximo ao máximo positivo (o pico está na borda esquerda), ou seja, o sinal começa em um máximo em t inicial mostrado.
  • Observação da amplitude ao longo do gráfico: os picos sucessivos têm praticamente a mesma amplitude, não há decaimento apreciável visível na escala do desenho.
  • Interpretando essas duas observações:
    • Começar em pico positivo indica fase espacial tal que \omega t-\beta z=0 no instante de referência — isso corresponde a z sendo múltiplo de \lambda; o caso mais simples é z=0.
    • Envoltória quase constante indica baixa atenuação ( \alpha pequeno).
  • Para decidir qual das etiquetas solicitar (a) ou (b) usar: a característica de fase (começa em pico) é bem marcante e específica de z=0 (ou z = n\lambda), enquanto “baixa atenuação” é uma propriedade adicional que também se verifica. Em problemas do tipo “relacione formas de onda com as situações”, quando a forma mostra precisamente o pico inicial espera-se identificar a posição z=0. Assim a identificação principal para \text{(C)} é a de posição z=0.

Resposta

(C) Onda se propagando em meio livre em z=0

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