Encontre uma fatoração para as expressões abaixo:
x^3-2 x^2-4 x+8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma fatoração para o polinômio $ x^{3} - 2x^{2} - 4x + 8 $. Estamos trabalhando com fatoração de polinômios, especificamente de um polinômio cúbico. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes do polinômio e depois fatorá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz do polinômio. As raízes racionais possíveis são os divisores do termo constante (que é 8) divididos pelos divisores do coeficiente líder (que é 1). Então, as possíveis raízes são: $ \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 $.

Passo 3

Vamos testar $ x = 2 $ para ver se é uma raiz:
x = 2
Como $ P(2) = 0 $, $ x = 2 $ é uma raiz do polinômio. Isso significa que $ (x - 2) $ é um fator.

Passo 4

Agora, vamos dividir o polinômio original por $ (x - 2) $ para encontrar o polinômio reduzido. Podemos usar a divisão sintética para facilitar:
(x - 2)
Assim, após a divisão, obtemos $ x^2 - 4 $.

Passo 5

Agora, temos o polinômio fatorado até aqui: $ (x - 2)(x^2 - 4) $. O próximo passo é fatorar $ x^2 - 4 $, que é uma diferença de quadrados. Sabemos que:
(x - 2)(x^2 - 4)

Passo 6

Substituindo de volta, a fatoração completa fica:
(x - 2)(x + 2)(x - 2) = (x - 2)^2(x + 2)

Resposta

A fatoração de $ x^{3} - 2x^{2} - 4x + 8 $ é $ (x - 2)^{2}(x + 2) $.

Exercícios relacionados