Encontre uma fatoração para as expressões abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma fatoração para o polinômio $ x^{3} - 2x^{2} - 4x + 8 $. Estamos trabalhando com fatoração de polinômios, especificamente de um polinômio cúbico. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes do polinômio e depois fatorá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz do polinômio. As raízes racionais possíveis são os divisores do termo constante (que é 8) divididos pelos divisores do coeficiente líder (que é 1). Então, as possíveis raízes são: $ \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 $.
Passo 3
Vamos testar $ x = 2 $ para ver se é uma raiz:
Como $ P(2) = 0 $, $ x = 2 $ é uma raiz do polinômio. Isso significa que $ (x - 2) $ é um fator.
Passo 4
Agora, vamos dividir o polinômio original por $ (x - 2) $ para encontrar o polinômio reduzido. Podemos usar a divisão sintética para facilitar:
Assim, após a divisão, obtemos $ x^2 - 4 $.
Passo 5
Agora, temos o polinômio fatorado até aqui: $ (x - 2)(x^2 - 4) $. O próximo passo é fatorar $ x^2 - 4 $, que é uma diferença de quadrados. Sabemos que:
Passo 6
Substituindo de volta, a fatoração completa fica:
Resposta
A fatoração de $ x^{3} - 2x^{2} - 4x + 8 $ é $ (x - 2)^{2}(x + 2) $.