mu(x) P(x) y^prime prime+mu(x) Q(x) y^prime+mu(x) R(x) y=0
pode ser escrita na forma
[mu(x) P(x) y^prime]^prime+[f(x) y]^prime=0
Igualando os coeficientes nessa duas equações e eliminando f(x), mostre que a função mu precisa satisfazer
P mu^prime prime+(2 P^prime-Q) mu^prime+(P^prime prime-Q^prime+R) mu=0
Essa equação é conhecida como adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original, de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem ocasionalmente. Encontre a equação adjunta da equação diferencial de Airy:
y^prime prime-x y=0
Escolha uma opção:
mu^prime prime-(1-x) mu=0

Passo 1

No enunciado temos que, para uma equação de segunda ordem escrita como mu(x)P(x)y''+mu(x)Q(x)y'+mu(x)R(x)y=0, existe uma equação adjunta para o fator integrante mu(x). O conteúdo é derivar e aplicar a fórmula geral da equação adjunta.

Passo 2

A teoria diz que o fator integrante mu deve satisfazer a equação adjunta
P,mu''+(2P'-Q),mu'+(P''-Q'+R),mu=0

Passo 3

Para a equação de Airy temos
y''-x,y=0
Logo
P=1, Q=0, R=-x e também P'=0, P''=0, Q'=0. Substituindo na fórmula adjunta:
1cdotmu''+(2cdot0-0),mu'+(0-0- x),mu=0

Passo 4

Isto simplifica para
mu''-x,mu=0

Resposta

A equação adjunta da equação de Airy é mu''-x,mu=0.

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