Encontre a forma cartesiana de TODOS os valores de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a forma cartesiana de TODOS os valores de
.
Informações dadas:
- A expressão é
, isto é, os números complexos tais que . - Não há mais dados; devemos obter todas as raízes cúbicas complexas de
.
Passo 2
Vamos transformar o número
em forma polar (módulo e argumento), porque a forma polar facilita achar raízes complexas. Lembrete rápido e didático:
- Um número complexo
pode ser escrito como onde e é um argumento de . - Usando a notação exponencial,
. - Pela regra das potências em forma polar (Teorema de De Moivre): se
e , então as raízes têm módulo e argumentos para . Para raízes -ésimas distintas, basta .
Primeiro escrevemos
em forma polar:
- Módulo:
. - Um argumento de
é (porque está sobre o eixo real negativo). Argumentos gerais são com .
Logo,
Passo 3
Aplicando a fórmula das raízes cúbicas: as soluções
de
têm módulo
e argumentos
As três raízes distintas correspondem a
. Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Vamos converter cada
para a forma cartesiana
calculando
e
dos ângulos.
Para
:
Sabendo que
e
, obtemos
Para
:
Para
:
Sabendo que
e
, obtemos
Portanto as três raízes em forma cartesiana são
,
e
.
Passo 5
Verificação rápida (só para ganhar confiança): elevar
ao cubo dá
.
Cálculo:
Cálculo:
Ok — funciona. As outras raízes também satisfazem
(por construção).