Encontre a forma cartesiana de TODOS os valores de (-8)^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma cartesiana de TODOS os valores de (-8)^{1/3}.
Informações dadas:
  • A expressão é (-8)^{1/3}, isto é, os números complexos z tais que z^3=-8.
  • Não há mais dados; devemos obter todas as raízes cúbicas complexas de -8.

Passo 2

Vamos transformar o número -8 em forma polar (módulo e argumento), porque a forma polar facilita achar raízes complexas. Lembrete rápido e didático:
  • Um número complexo w pode ser escrito como w = r(\cos\theta + i\sin\theta) onde r=|w| e \theta é um argumento de w.
  • Usando a notação exponencial, w = r e^{i\theta}.
  • Pela regra das potências em forma polar (Teorema de De Moivre): se z^n = w e w = r e^{i\theta}, então as raízes z têm módulo r^{1/n} e argumentos (\theta + 2\pi k)/n para k\in\mathbb{Z}. Para raízes n-ésimas distintas, basta k=0,1,\dots,n-1.
Primeiro escrevemos -8 em forma polar:
  • Módulo: |-8| = 8.
  • Um argumento de -8 é \pi (porque -8 está sobre o eixo real negativo). Argumentos gerais são \pi + 2\pi m com m\in\mathbb{Z}.
Logo,
-8 = 8\,e^{i(\pi + 2\pi m)}.

Passo 3

Aplicando a fórmula das raízes cúbicas: as soluções z de z^3=-8 têm módulo
|z| = 8^{1/3} = 2
e argumentos
\arg(z) = \frac{\pi + 2\pi m}{3},\qquad m\in\mathbb{Z}.
As três raízes distintas correspondem a m=0,1,2. Escrevendo explicitamente:
z_m = 2\,e^{i\frac{\pi + 2\pi m}{3}},\qquad m=0,1,2.

Passo 4

Vamos converter cada z_m para a forma cartesiana x+iy calculando \cos e \sin dos ângulos.
Para m=0:
\arg = \frac{\pi}{3}.
z_0 = 2\big(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\big).
Sabendo que \cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2} e \sin\frac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
z_0 = 2\Big(\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = 1 + i\sqrt{3}.
Para m=1:
\arg = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \pi.
z_1 = 2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2(-1 + i\cdot 0) = -2.
Para m=2:
\arg = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.
z_2 = 2\big(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\big).
Sabendo que \cos\frac{5\pi}{3}=\tfrac{1}{2} e \sin\frac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
z_2 = 2\Big(\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = 1 - i\sqrt{3}.
Portanto as três raízes em forma cartesiana são 1+i\sqrt{3}, -2 e 1-i\sqrt{3}.

Passo 5

Verificação rápida (só para ganhar confiança): elevar 1+i\sqrt{3} ao cubo dá -8.
Cálculo:
(1+i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} + i^2 3 = -2 + 2i\sqrt{3},
(1+i\sqrt{3})^3 = ( -2 + 2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3}) = -2 +0 -6 = -8.
Ok — funciona. As outras raízes também satisfazem z^3=-8 (por construção).

Resposta

1+i\sqrt{3}
-2
1-i\sqrt{3}

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