Calcule:
(ii) (3+2 i) \div(-2+i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divisão de dois números complexos:
(3+2i)\div(-2+i).
Informações dadas:
  • Numerador: (3+2i).
  • Denominador: (-2+i).
    O objetivo é obter o quociente como um número complexo na forma x+yi.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método usado).
Para dividir dois complexos é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para “eliminar” a parte imaginária do denominador. Se escrevermos os complexos como a+bi e c+di, então
\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}.
No denominador aparece
(c+di)(c-di)=c^2-(di)^2=c^2-d^2 i^2.
Como i^2=-1, isso vira
c^2-d^2(-1)=c^2+d^2,
um número real positivo (quando c e d não são ambos zero). Assim o quociente fica
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.
Aqui a,b,c,d são números reais que representam as partes real e imaginária dos complexos: a e b do numerador, c e d do denominador.

Passo 3

Identificar a,b,c,d no problema dado.
Para (3+2i)\div(-2+i) temos:
a=3,\quad b=2,\quad c=-2,\quad d=1.
O conjugado do denominador (-2+i) é (-2-i). Portanto vamos multiplicar numerador e denominador por (-2-i).

Passo 4

Calcular o numerador multiplicado pelo conjugado: (3+2i)(-2-i).
Fazendo a distributiva termo a termo:
3\cdot(-2) = -6,
3\cdot(-i) = -3i,
2i\cdot(-2) = -4i,
2i\cdot(-i) = -2i^2.
Agora usar i^2=-1 na última parcela:
-2i^2 = -2(-1) = 2.
Somando as partes reais e imaginárias:
  • Partes reais: -6 + 2 = -4.
  • Partes imaginárias: -3i -4i = -7i.
    Logo o numerador transformado é
(3+2i)(-2-i) = -4 -7i.

Passo 5

Calcular o denominador real c^2+d^2:
(-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.

Passo 6

Formar o quociente dividindo cada parte pelo denominador real:
\frac{-4-7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i.
Essa é a forma padrão x+yi do resultado.

Resposta

-\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{5}i

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