Encontre \frac{d^{2} y}{d x^{2}} se:
y=\csc x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função \;y=\csc x\;.
  • Pede a segunda derivada: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Passo 2

Relembrando regras e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, passo a passo):
  • Definição trigonométrica: \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
  • Derivadas básicas de trigonometria:
    • \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
    • \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.
  • Regras de diferenciação importantes:
    • Regra da cadeia (para u(x)^{n}): \dfrac{d}{dx}u(x)^{n}=n\,u(x)^{n-1}\,u'(x).
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivadas de funções recíprocas e trig reciprocais (podem ser obtidas pelas regras acima):
    • Como \csc x=(\sin x)^{-1}, pela regra da cadeia tem-se \dfrac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x.
    • E para a cotangente: \dfrac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^{2}x.
Vou usar essas fórmulas (posso também derivar direto por regra do quociente ou cadeia; são equivalentes).

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Escrevendo \;y=(\sin x)^{-1}, aplicando a regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx}=-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x=-\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}.
  • Reescrevendo em termos de funções recíprocas: \dfrac{dy}{dx}=-\csc x\cot x.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} diferenciando \dfrac{dy}{dx}=-\csc x\cot x.
  • Primeiro escrevo \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{d}{dx}\big(-\csc x\cot x\big)=-\dfrac{d}{dx}\big(\csc x\cot x\big).
  • Uso a regra do produto para \csc x\cot x: \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\cot x\big)=\big(\dfrac{d}{dx}\csc x\big)\cot x+\csc x\big(\dfrac{d}{dx}\cot x\big).
  • Substituindo as derivadas conhecidas \dfrac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x e \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x: \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\cot x\big)=(-\csc x\cot x)\cot x+\csc x(-\csc^{2}x).
  • Simplificando os termos: \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\cot x\big)=-\csc x\cot^{2}x-\csc^{3}x.
  • Voltando ao sinal negativo inicial: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\big(-\csc x\cot^{2}x-\csc^{3}x\big)=\csc x\cot^{2}x+\csc^{3}x.

Passo 5

Simplificar a expressão usando identidades trigonométricas:
  • Usando \;1+\cot^{2}x=\csc^{2}x\;, podemos combinar termos: \csc x\cot^{2}x+\csc^{3}x=\csc x\big(\cot^{2}x+\csc^{2}x\big).
  • Substituindo \csc^{2}x=1+\cot^{2}x na soma \cot^{2}x+\csc^{2}x: \cot^{2}x+\csc^{2}x=(\csc^{2}x-1)+\csc^{2}x=2\csc^{2}x-1.
  • Portanto outra forma compacta é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\csc x\big(2\csc^{2}x-1\big)=2\csc^{3}x-\csc x.
  • Observação: as formas \csc x\cot^{2}x+\csc^{3}x,\qquad \csc x\big(\cot^{2}x+\csc^{2}x\big),\qquad 2\csc^{3}x-\csc xsão todas equivalentes; escolha a que achar mais limpa na prova.

Resposta

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\csc^{3}x-\csc x

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