Encontre
se:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a função
. - Pede a segunda derivada:
.
Passo 2
Relembrando regras e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, passo a passo):
- Definição trigonométrica:
. - Derivadas básicas de trigonometria:
-
. -
.
-
- Regras de diferenciação importantes:
- Regra da cadeia (para
): . - Regra do produto:
.
- Regra da cadeia (para
- Derivadas de funções recíprocas e trig reciprocais (podem ser obtidas pelas regras acima):
- Como
, pela regra da cadeia tem-se - E para a cotangente:
- Como
Vou usar essas fórmulas (posso também derivar direto por regra do quociente ou cadeia; são equivalentes).
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
- Escrevendo
, aplicando a regra da cadeia: - Reescrevendo em termos de funções recíprocas:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
diferenciando
.
- Primeiro escrevo
- Uso a regra do produto para
: - Substituindo as derivadas conhecidas
e : - Simplificando os termos:
- Voltando ao sinal negativo inicial:
Passo 5
Simplificar a expressão usando identidades trigonométricas:
- Usando
, podemos combinar termos: - Substituindo
na soma : - Portanto outra forma compacta é
- Observação: as formas
são todas equivalentes; escolha a que achar mais limpa na prova.