Encontre \frac{d^{2} y}{d x^{2}} se:
y=\tan x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede: encontrar \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, a segunda derivada de y em relação a x.
  • Dado: y=\tan x.
Vou fazer a conta passo a passo: primeiro calculo a primeira derivada \dfrac{dy}{dx}, explicando por que ela vale o que vale, e depois derivo novamente para obter \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Também explico as regras que usei (quociente, produto/ cadeia) de forma didática.

Passo 2

Derivando \tan x para obter \dfrac{dy}{dx}.
Lembrete rápido sobre a definição usada aqui:
  • \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • A regra do quociente: se u(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} e g(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Aplicando ao caso f(x)=\sin x e g(x)=\cos x:
  • f'(x)=\cos x.
  • g'(x)=-\sin x.
Então
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{(\cos x)^{2}} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Definindo \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, fica mais compacto:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Agora vamos derivar \dfrac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x para obter a segunda derivada. Vou usar a regra da cadeia (ou a regra do produto, via uma escritura conveniente).
Regra da cadeia em forma simples: se h(x)=(u(x))^{2} então h'(x)=2u(x)\,u'(x).
Aqui u(x)=\operatorname{sec} x, logo \operatorname{sec}^{2}x=(\operatorname{sec} x)^{2}. Precisamos de u'(x)=\dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec} x). Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, pode-se derivar (usando quociente ou cadeia) que
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{2}x\big) =2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x).
Multiplicando,
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.

Passo 4

Verificação alternativa (mesma resposta por outra via): usar \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x.
Como \dfrac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, então
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\big(1+\tan^{2}x\big)=2\tan x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x).
Mas já sabemos \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x, portanto
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x,
o que coincide com o resultado anterior (ordem dos fatores não importa).

Passo 5

Observações finais e domínio:
  • Resultado final: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\tan x\operatorname{sec}^{2}x.
  • Atenção ao domínio: \tan x e \operatorname{sec} x não estão definidos quando \cos x=0, isto é, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. Nas proximidades desses pontos as derivadas não existem (ou são indefinidas).
Força aí — a conta é curta, a parte chata é lembrar as derivadas básicas e as identidades trigonométricas; com essas na mão, você faz isso rapidinho na prova.

Resposta

\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\tan x\operatorname{sec}^{2}x

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