Encontre
se:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede: encontrar
, a segunda derivada de em relação a . - Dado:
.
Vou fazer a conta passo a passo: primeiro calculo a primeira derivada
, explicando por que ela vale o que vale, e depois derivo novamente para obter
. Também explico as regras que usei (quociente, produto/ cadeia) de forma didática.
Passo 2
Derivando
para obter
.
Lembrete rápido sobre a definição usada aqui:
-
. - A regra do quociente: se
e , então
Aplicando ao caso
e
:
-
. -
.
Então
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Definindo
, fica mais compacto:
Passo 3
Agora vamos derivar
para obter a segunda derivada. Vou usar a regra da cadeia (ou a regra do produto, via uma escritura conveniente).
Regra da cadeia em forma simples: se
então
.
Aqui
, logo
. Precisamos de
. Lembrando que
, pode-se derivar (usando quociente ou cadeia) que
Aplicando a regra da cadeia:
Multiplicando,
Passo 4
Verificação alternativa (mesma resposta por outra via): usar
.
Como
, então
Mas já sabemos
, portanto
o que coincide com o resultado anterior (ordem dos fatores não importa).
Passo 5
Observações finais e domínio:
- Resultado final:
. - Atenção ao domínio:
e não estão definidos quando , isto é, em para . Nas proximidades desses pontos as derivadas não existem (ou são indefinidas).
Força aí — a conta é curta, a parte chata é lembrar as derivadas básicas e as identidades trigonométricas; com essas na mão, você faz isso rapidinho na prova.