Encontre \frac{d y}{d x} :
y=\operatorname{sec} e^{2 x}+e^{2 \operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\operatorname{sec}\bigl(e^{2x}\bigr)+e^{2\operatorname{sec} x}.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em funções compostas, mais a regra da soma. Vamos usar que
  1. \frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(u)]=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,u'.
  2. \frac{d}{dx}[e^{v}]=e^{v}\,v'.
  3. \frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x]=\operatorname{sec} x\,\tan x.
  4. \frac{d}{dx}[e^{2x}]=2e^{2x}.

Passo 2

Derivamos \operatorname{sec}\bigl(e^{2x}\bigr) aplicando a cadeia com u=e^{2x} e u'=2e^{2x}:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(e^{2x})\bigr] =\operatorname{sec}(e^{2x})\,\tan(e^{2x})\times 2e^{2x}.

Passo 3

Derivamos e^{2\operatorname{sec} x} aplicando a cadeia com v=2\operatorname{sec} x e v'=2\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x]=2\operatorname{sec} x\,\tan x:
\frac{d}{dx}\bigl[e^{2\operatorname{sec} x}\bigr] =e^{2\operatorname{sec} x}\times 2\operatorname{sec} x\,\tan x.

Resposta

\frac{dy}{dx} =2e^{2x}\,\operatorname{sec}(e^{2x})\,\tan(e^{2x}) +2\operatorname{sec} x\,\tan x\,e^{2\operatorname{sec} x}.

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