Encontre \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y,z)=\ln(x+2y+3z) e pede para encontrar as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do log é \displaystyle x+2y+3z.
  • Para que \displaystyle f esteja bem definida precisamos de \displaystyle x+2y+3z>0 (domínio da função).
  • As variáveis independentes são x,y,z.

Passo 2

O que significa derivada parcial?
A derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) mede como f muda quando só alteramos x e mantemos y e z fixos. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, para funções compostas como a nossa é mais simples usar a regra da cadeia: tratar as outras variáveis como constantes e derivar normalmente.

Passo 3

Identificamos uma composição: seja \displaystyle u(x,y,z)=x+2y+3z. Então \displaystyle f(x,y,z)=\ln(u(x,y,z)).
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u(x,y,z))=\frac{1}{u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z).
Intuição rápida: a derivada de \ln(u) em relação a u é \displaystyle 1/u; depois multiplicamos pela taxa de variação de u em relação à variável desejada.

Passo 4

Calculemos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. Como \displaystyle u(x,y,z)=x+2y+3z e y,z são tratados como constantes ao derivar em relação a x, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
(By the book: a derivada de \displaystyle x em relação a \displaystyle x é \displaystyle 1; as parcelas que não dependem de x viram 0.)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 1=\frac{1}{x+2y+3z}.
Expliquei cada passo: primeiro a derivada de \ln é 1/u, depois multiplica pela derivada interna que já achamos.

Passo 6

Agora \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}. Diferenciando \displaystyle u(x,y,z)=x+2y+3z em relação a y (com x,z constantes) obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=2,
pois a derivada de \displaystyle 2y em relação a \displaystyle y é \displaystyle 2.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 2=\frac{2}{x+2y+3z}.

Passo 8

Finalmente, \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}=3 porque a derivada de \displaystyle 3z em relação a \displaystyle z é \displaystyle 3. Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{x+2y+3z}\cdot 3=\frac{3}{x+2y+3z}.

Passo 9

Pequena verificação numérica (só pra te dar confiança): para (x,y,z)=(1,0,0) temos \displaystyle f=\ln(1)=0 e as derivadas calculadas dão \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=1, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=3, que faz sentido localmente — a variação em x é \displaystyle 1, em y é \displaystyle 2 vezes maior por causa do coeficiente, etc. Força aí, você já tá dominando o raciocínio!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+2y+3z}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{x+2y+3z}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{3}{x+2y+3z}

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