Encontre
.
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z)
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas parciais
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do log é
. - Para que
esteja bem definida precisamos de (domínio da função). - As variáveis independentes são
.
Passo 2
O que significa derivada parcial?
A derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo ) mede como
muda quando só alteramos
e mantemos
e
fixos. Formalmente,
A derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
Na prática, para funções compostas como a nossa é mais simples usar a regra da cadeia: tratar as outras variáveis como constantes e derivar normalmente.
Passo 3
Identificamos uma composição: seja
. Então
.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
Intuição rápida: a derivada de
em relação a
é
; depois multiplicamos pela taxa de variação de
em relação à variável desejada.
Passo 4
Calculemos
. Como
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
, temos
(By the book: a derivada de
em relação a
é
; as parcelas que não dependem de
viram
.)
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Expliquei cada passo: primeiro a derivada de
é
, depois multiplica pela derivada interna que já achamos.
Passo 6
Agora
. Diferenciando
em relação a
(com
constantes) obtemos
pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 8
Finalmente,
porque a derivada de
em relação a
é
. Usando a regra da cadeia,
Passo 9
Pequena verificação numérica (só pra te dar confiança): para
temos
e as derivadas calculadas dão
,
e
, que faz sentido localmente — a variação em
é
, em
é
vezes maior por causa do coeficiente, etc. Força aí, você já tá dominando o raciocínio!