Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
Sugestão: manipule a série geométrica.
(f) f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}} e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}} e a sugestão é manipular a série geométrica. A série procurada deve ser uma soma da forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n (centrada em 0).
Passo 2
Relembrando a série geométrica e uma identidade útil (vou explicar direitinho): para uma variável auxiliar t vale a identidade da série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n},
desde que |t|<1. Aqui cada termo t^{n} significa t elevado a n. Essa igualdade é uma soma infinita que converge quando |t|<1.
Diferenciando em relação a t ambos os lados (isso é permitido dentro do raio de convergência), obtemos
Determino o raio e o intervalo de convergência. Já vimos que a condição de validade foi \left|\dfrac{x}{2}\right|<1, ou seja |x|<2. Assim o raio de convergência é R=2. Falta checar os extremos x=2 e x=-2:
Para x=2 o termo geral da série fica
\frac{n+1}{2^{n+2}}\,2^{n}=\frac{n+1}{4}.
Como \dfrac{n+1}{4}\not\to 0 quando n\to\infty, a série não pode convergir (teste do termo geral). Logo diverge em x=2.
cuja magnitude é \dfrac{n+1}{4}\not\to 0, então também diverge (novamente o termo não tende a zero). Portanto os extremos não entram no intervalo de convergência.
Logo o intervalo de convergência é \displaystyle (-2,2).