Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
Sugestão: manipule a série geométrica.
(f) f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}} e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}} e a sugestão é manipular a série geométrica. A série procurada deve ser uma soma da forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n (centrada em 0).

Passo 2

Relembrando a série geométrica e uma identidade útil (vou explicar direitinho): para uma variável auxiliar t vale a identidade da série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n},
desde que |t|<1. Aqui cada termo t^{n} significa t elevado a n. Essa igualdade é uma soma infinita que converge quando |t|<1.
Diferenciando em relação a t ambos os lados (isso é permitido dentro do raio de convergência), obtemos
\frac{1}{(1-t)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} n\,t^{n-1}.
Multiplicando por t e reorganizando índices dá outra forma prática:
\frac{1}{(1-t)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,t^{n},
válida também para |t|<1. Aqui a soma começa em n=0 e o coeficiente (n+1) vem diretamente da diferenciação e da soma original.

Passo 3

Agora vamos escrever \displaystyle f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}} de modo a usar a identidade anterior. Observe que
2-x=2\left(1-\frac{x}{2}\right),
logo
(2-x)^{2}=4\left(1-\frac{x}{2}\right)^{2}.
Portanto
\frac{1}{(2-x)^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{x}{2}\right)^{2}}.
Aqui fiz a substituição t=\dfrac{x}{2}. A condição |t|<1 vira \left|\dfrac{x}{2}\right|<1, ou seja |x|<2. Isso já antecipa o raio de convergência.

Passo 4

Usando a identidade encontrada em

Passo 5

\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n},
válido para \left|\dfrac{x}{2}\right|<1 (isto é, |x|<2). Multiplicando por \dfrac{1}{4} obtemos a série para f(x):
f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n}.

Passo 6

Agora simplifico os coeficientes para escrever na forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. Cada termo é
\frac{1}{4}(n+1)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n}=\frac{n+1}{4}\cdot\frac{x^{n}}{2^{n}}=\frac{n+1}{2^{n+2}}\,x^{n},
pois 4\cdot 2^{n}=2^{n+2}. Portanto a série em potências centrada em 0 é
\boxed{\,\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{\,n+2}}\,x^{n}\,}
e essa igualdade vale para |x|<2.

Passo 7

Determino o raio e o intervalo de convergência. Já vimos que a condição de validade foi \left|\dfrac{x}{2}\right|<1, ou seja |x|<2. Assim o raio de convergência é R=2. Falta checar os extremos x=2 e x=-2:
  • Para x=2 o termo geral da série fica
\frac{n+1}{2^{n+2}}\,2^{n}=\frac{n+1}{4}.
Como \dfrac{n+1}{4}\not\to 0 quando n\to\infty, a série não pode convergir (teste do termo geral). Logo diverge em x=2.
  • Para x=-2 o termo geral é
\frac{n+1}{2^{n+2}}\,(-2)^{n}=\frac{n+1}{4}(-1)^{n},
cuja magnitude é \dfrac{n+1}{4}\not\to 0, então também diverge (novamente o termo não tende a zero). Portanto os extremos não entram no intervalo de convergência.
Logo o intervalo de convergência é \displaystyle (-2,2).

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{\,n+2}}\,x^{n}
R=2
\displaystyle\text{Intervalo de convergência: }(-2,2)ê

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