Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
b) 14,222 …
b) 14,222 …
Passo 1
O enunciado pede: transformar a dízima periódica
(onde o algarismo
se repete infinitamente) numa fração geratriz. Informações fornecidas:
- O número é
. - A parte periódica (o período) é o algarismo
e tem comprimento . - Queremos encontrar uma fração
equivalente a esse número.
Passo 2
Vou chamar o número de
. Assim,
A ideia é escrever
como uma fração, usando uma técnica algébrica que elimina a parte periódica.
Passo 3
Como o período tem comprimento
, multiplico
por
para deslocar a vírgula uma casa, fazendo com que a parte repetida volte a alinhar com a original:
Repare que tanto
quanto
têm a mesma parte decimal repetida
.
Passo 4
Subtraio a equação
da equação
para cancelar a parte periódica:
No lado esquerdo fica
. No lado direito a parte decimal
cancela, sobrando apenas a diferença dos inteiros:
Passo 5
Isolando
:
Verifico se dá para simplificar a fração:
, portanto a fração já está na forma irredutível.
Passo 6
(Comentário didático rápido) Outra forma de ver:
e sabe-se, por método análogo, que
logo
, mesma resposta. Exemplo simples:
.