Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
b) 14,222 …

Passo 1

O enunciado pede: transformar a dízima periódica 14,222\ldots (onde o algarismo 2 se repete infinitamente) numa fração geratriz. Informações fornecidas:
  • O número é \,14,222\ldots.
  • A parte periódica (o período) é o algarismo 2 e tem comprimento 1.
  • Queremos encontrar uma fração \dfrac{p}{q} equivalente a esse número.

Passo 2

Vou chamar o número de x. Assim,
x = 14,222\ldots
A ideia é escrever x como uma fração, usando uma técnica algébrica que elimina a parte periódica.

Passo 3

Como o período tem comprimento 1, multiplico x por 10 para deslocar a vírgula uma casa, fazendo com que a parte repetida volte a alinhar com a original:
10x = 142,222\ldots
Repare que tanto 10x quanto x têm a mesma parte decimal repetida ,222\ldots.

Passo 4

Subtraio a equação x da equação 10x para cancelar a parte periódica:
10x - x = 142,222\ldots - 14,222\ldots
No lado esquerdo fica 9x. No lado direito a parte decimal ,222\ldots cancela, sobrando apenas a diferença dos inteiros:
9x = 142 - 14 = 128.

Passo 5

Isolando x:
x = \frac{128}{9}.
Verifico se dá para simplificar a fração: \gcd(128,9)=1, portanto a fração já está na forma irredutível.

Passo 6

(Comentário didático rápido) Outra forma de ver: 14,222\ldots = 14 + 0,222\ldots e sabe-se, por método análogo, que
0,222\ldots = \frac{2}{9},
logo 14 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{126+2}{9}=\dfrac{128}{9}, mesma resposta. Exemplo simples: 0,777\ldots=\dfrac{7}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{128}{9}

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