1. (CESGRANRIO) Ordenando os números racionai p=\frac{13}{24}, q=\frac{2}{3} e r=\frac{5}{6}, obtemos:
    a) p<r<q
    b) p<q<r
    c) r<p<q
    d) q<r<p
    e) r<q<p

Passo 1

O enunciado dá três números racionais e pede para ordená‑los (do menor para o maior). As informações são:
  • p=\dfrac{13}{24}
  • q=\dfrac{2}{3}
  • r=\dfrac{5}{6}
As alternativas possíveis são:
a) p<r<q
b) p<q<r
c) r<p<q
d) q<r<p
e) r<q<p
O objetivo é decidir qual das alternativas corresponde à ordenação correta de p,q,r.

Passo 2

Vou explicar dois métodos simples e confiáveis para comparar frações: (1) transformar para um mesmo denominador (denominador comum) e (2) usar a multiplicação cruzada (cross‑multiplication). Ambos dão o mesmo resultado; eu usarei principalmente a multiplicação cruzada porque é mais rápida na prova, mas também mostro o método do denominador comum como verificação.
Regra da multiplicação cruzada: para comparar duas frações \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} (com b>0 e d>0), calcule a\cdot d e c\cdot b. Se a\cdot d < c\cdot b então \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}; se a\cdot d > c\cdot b então \dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}. Isso funciona porque comparar \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} é equivalente a comparar a d e c b depois de multiplicar a desigualdade por b d (positivo).
Exemplo rápido para fixar: comparar \dfrac{3}{4} e \dfrac{2}{3}. Fazendo cruzado: 3\cdot3=9 e 2\cdot4=8. Como 9>8, temos \dfrac{3}{4}>\dfrac{2}{3}.
Método do denominador comum: transformar ambas as frações para o mesmo denominador (o mínimo múltiplo comum é o mais prático) e comparar os numeradores resultantes.

Passo 3

Comparar p e q usando multiplicação cruzada.
Temos p=\dfrac{13}{24} e q=\dfrac{2}{3}.
Calcule os produtos cruzados:
13\cdot 3 = 39, \qquad 2\cdot 24 = 48.
Como 39 < 48, segue que
\dfrac{13}{24} < \dfrac{2}{3},
ou seja, p<q.
(O mesmo resultado com denominador comum: transformar para denominador 24. \dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{24}. Como \dfrac{13}{24}<\dfrac{16}{24}, confirmamos p<q.)

Passo 4

Comparar q e r usando multiplicação cruzada.
Temos q=\dfrac{2}{3} e r=\dfrac{5}{6}.
Calcule os produtos cruzados:
2\cdot 6 = 12, \qquad 3\cdot 5 = 15.
Como 12 < 15, segue que
\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6},
ou seja, q<r.
(Verificação pelo denominador comum: denominador 6. \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6} e \dfrac{4}{6}<\dfrac{5}{6}.)

Passo 5

Usando transitividade da desigualdade: de p<q e q<r obtemos p<q<r. Portanto a ordenação crescente dos três números é
\dfrac{13}{24} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}.

Resposta

b)

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