Encontre a função de transferência \mathrm{H}[\mathrm{z}] e a resposta total y[n] dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
y[n+2]-3 y[n+1]+2 y[n]=x[n+1]
para a entrada x[n]=(3)^{n} u[n] e condições iniciais y[-1]=2 e y[-2]=3

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças
y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=x[n+1],
a entrada
x[n]=3^{n}u[n],
e as condições iniciais
y[-1]=2,\qquad y[-2]=3.
Pede-se:
  • Encontrar a função de transferência \mathrm{H}[z] do sistema (isto é, a relação \mathrm{H}[z]=\dfrac{Y(z)}{X(z)} assumindo condições iniciais nulas);
  • Encontrar a resposta total y[n] do sistema para a entrada dada e as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Vamos obter \mathrm{H}[z] assumindo condições iniciais nulas (zero-state). Usamos a transformada em z e a propriedade de deslocamento temporal: para condições iniciais nulas vale
\mathcal{Z}\{y[n+k]\}=z^{k}Y(z),\qquad \mathcal{Z}\{x[n+k]\}=z^{k}X(z).
Aplicando a transformada em z (zero-IC) na equação a diferenças:
\mathcal{Z}\{y[n+2]\}-3\mathcal{Z}\{y[n+1]\}+2\mathcal{Z}\{y[n]\}=\mathcal{Z}\{x[n+1]\}
z^{2}Y(z)-3zY(z)+2Y(z)=zX(z).
Fatorando Y(z) e isolando a razão Y(z)/X(z) obtemos a função de transferência:
\mathrm{H}[z]=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{z}{z^{2}-3z+2}.

Passo 3

Interpretação prática de \mathrm{H}[z]. Podemos também escrever \mathrm{H}[z] em potências de z^{-1} (forma usual):
\mathrm{H}[z]=\frac{z}{z^{2}-3z+2}=\frac{z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}.
Os polos são raízes do denominador z^{2}-3z+2=0, ou seja z=1 e z=2. Para um sistema causal a Região de Convergência (ROC) é |z|>2 (fora do maior polo). (Isto é informação útil sobre estabilidade/causalidade.)

Passo 4

Agora vamos encontrar a resposta total y[n]. A forma mais direta é decompor a solução em:
y[n]=y_h[n]+y_p[n],
onde y_h[n] é a solução da equação homogênea e y_p[n] é uma solução particular para a entrada dada.
Primeiro a equação homogênea associada:
y_h[n+2]-3y_h[n+1]+2y_h[n]=0.
Procuramos soluções do tipo y_h[n]=r^{n}. A equação característica é
r^{2}-3r+2=0,
cuja solução dá r=1 e r=2. Assim a solução geral homogênea é
y_h[n]=C_1\cdot 1^{n}+C_2\cdot 2^{n}=C_1+C_2\,2^{n},
onde C_1,C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Procuramos uma solução particular y_p[n] para a entrada x[n]=3^{n}u[n]. Como o lado direito da equação é x[n+1], para n\ge 0 o termo forçante é x[n+1]=3^{n+1}. Tentamos uma forma particular do tipo y_p[n]=A\cdot 3^{n} (pois 3^{n} não é raiz da equação característica: raízes foram 1 e 2, diferentes de 3). Substituindo na equação:
A\cdot 3^{n+2}-3A\cdot 3^{n+1}+2A\cdot 3^{n}=3^{n+1}.
Fatorando 3^{n}:
A\cdot 3^{n}\big(3^{2}-3\cdot 3+2\big)=3^{n}\cdot 3.
Calcule o parêntese: 9-9+2=2. Logo
2A\cdot 3^{n}=3\cdot 3^{n}\quad\Rightarrow\quad 2A=3\quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.
Portanto
y_p[n]=\frac{3}{2}\,3^{n}=\frac{3^{n+1}}{2}.

Passo 6

Agora precisamos determinar C_1 e C_2 usando as condições iniciais. As condições dadas são y[-1]=2 e y[-2]=3, que são valores anteriores a n=0. Vamos usar a própria equação a diferenças para obter valores iniciais em índices não-negativos que nos permitam aplicar a forma geral y[n]=C_1+C_2 2^{n}+ \tfrac{3}{2}3^{n} para n\ge0.
Colocando n=-2 na equação original:
y[0]-3y[-1]+2y[-2]=x[-1].
Como x[n]=3^{n}u[n] temos x[-1]=0. Logo
y[0]=3y[-1]-2y[-2}=3\cdot 2 -2\cdot 3 =6-6=0.
Agora coloque n=-1:
y[1]-3y[0]+2y[-1]=x[0].
Temos x[0]=3^{0}u[0]=1, y[0]=0, y[-1]=2. Assim
y[1]=1+3y[0]-2y[-1]=1+0-4=-3.
Agora usamos y[0] e y[1] para achar C_1,C_2. Para n=0:
y[0]=C_1+C_2\cdot 2^{0}+\frac{3}{2}3^{0}=C_1+C_2+\frac{3}{2}=0.
Isto dá
C_1+C_2=-\frac{3}{2}. \qquad (1)
Para n=1:
y[1]=C_1+C_2\cdot 2^{1}+\frac{3}{2}3^{1}=C_1+2C_2+\frac{9}{2}=-3.
Isto dá
C_1+2C_2=-\frac{15}{2}. \qquad (2)
Subtraindo (1) de (2) obtemos C_2=-6. Substituindo em (1):
C_1=-\frac{3}{2}-C_2=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}.

Passo 7

Finalmente, a solução total para n\ge 0 é
y[n]=y_h[n]+y_p[n]=\frac{9}{2}-6\cdot 2^{n}+\frac{3}{2}\cdot 3^{n},\qquad n\ge 0.
(Nos índices negativos os valores são os dados: y[-1]=2, y[-2]=3.)

Resposta

\mathrm{H}[z]=\dfrac{z}{z^{2}-3z+2}.
y[n]=\frac{9}{2}-6\cdot 2^{n}+\frac{3}{2}\cdot 3^{n},\qquad n\ge 0.

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