Encontre a função de transferência
e a resposta total y[n] dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
para a entrada
e condições iniciais
e
Passo 1
O enunciado dá a equação a diferenças
a entrada
e as condições iniciais
Pede-se:
- Encontrar a função de transferência
do sistema (isto é, a relação assumindo condições iniciais nulas); - Encontrar a resposta total
do sistema para a entrada dada e as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Vamos obter
assumindo condições iniciais nulas (zero-state). Usamos a transformada em
e a propriedade de deslocamento temporal: para condições iniciais nulas vale
Aplicando a transformada em
(zero-IC) na equação a diferenças:
Fatorando
e isolando a razão
obtemos a função de transferência:
Passo 3
Interpretação prática de
. Podemos também escrever
em potências de
(forma usual):
Os polos são raízes do denominador
, ou seja
e
. Para um sistema causal a Região de Convergência (ROC) é
(fora do maior polo). (Isto é informação útil sobre estabilidade/causalidade.)
Passo 4
Agora vamos encontrar a resposta total
. A forma mais direta é decompor a solução em:
onde
é a solução da equação homogênea e
é uma solução particular para a entrada dada.
Primeiro a equação homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. A equação característica é
cuja solução dá
e
. Assim a solução geral homogênea é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Procuramos uma solução particular
para a entrada
. Como o lado direito da equação é
, para
o termo forçante é
. Tentamos uma forma particular do tipo
(pois
não é raiz da equação característica: raízes foram
e
, diferentes de
). Substituindo na equação:
Fatorando
:
Calcule o parêntese:
. Logo
Portanto
Passo 6
Agora precisamos determinar
e
usando as condições iniciais. As condições dadas são
e
, que são valores anteriores a
. Vamos usar a própria equação a diferenças para obter valores iniciais em índices não-negativos que nos permitam aplicar a forma geral
para
.
Colocando
na equação original:
Como
temos
. Logo
Agora coloque
:
Temos
,
,
. Assim
Agora usamos
e
para achar
. Para
:
Isto dá
Para
:
Isto dá
Subtraindo (1) de (2) obtemos
. Substituindo em (1):
Passo 7
Finalmente, a solução total para
é
(Nos índices negativos os valores são os dados:
,
.)