Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
H[z]=\frac{2 z+3}{(z-2)(z-3)}, para a entrada x[n]=u[n]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função de transferência \displaystyle H[z]=\frac{2 z+3}{(z-2)(z-3)}.
  • A entrada x[n]=u[n] (escada unitária: u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0).
    O que se pede: a resposta de estado nulo y[n] (ou seja, a saída do sistema devido apenas à entrada, assumindo condições iniciais nulas).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a transformada z da entrada. A transformada unilateral (causal) da escada unitária é
X[z]=\frac{z}{z-1},
com região de convergência |z|>1. Sob condições iniciais nulas, a saída no domínio de z é
Y[z]=H[z]\,X[z].

Passo 3

Multiplicando H[z] por X[z] obtemos
Y[z]=\frac{2z+3}{(z-2)(z-3)}\cdot\frac{z}{z-1}=\frac{z(2z+3)}{(z-1)(z-2)(z-3)}.
Expandindo o numerador:
z(2z+3)=2z^2+3z,
logo
Y[z]=\frac{2z^2+3z}{(z-1)(z-2)(z-3)}.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais da forma
\frac{2z^2+3z}{(z-1)(z-2)(z-3)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z-3}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z-2)(z-3) obtemos
2z^2+3z = A(z-2)(z-3)+B(z-1)(z-3)+C(z-1)(z-2).
Para achar A,B,C avalia-se em z=1,2,3:
  • Em z=1: 2\cdot1^2+3\cdot1=5 = A(1-2)(1-3)=A\cdot( -1)(-2)=2A. Logo A=\dfrac{5}{2}.
  • Em z=2: 2\cdot2^2+3\cdot2=14 = B(2-1)(2-3)=B\cdot1\cdot(-1)=-B. Logo B=-14.
  • Em z=3: 2\cdot3^2+3\cdot3=27 = C(3-1)(3-2)=C\cdot2\cdot1=2C. Logo C=\dfrac{27}{2}.
Portanto
Y[z]=\frac{5/2}{z-1}+\frac{-14}{z-2}+\frac{27/2}{z-3}.

Passo 5

Agora usamos pares usuais de transformada z (para sequências causais):
Z\{a^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-a}\quad\Longrightarrow\quad Z^{-1}\!\left\{\frac{1}{z-a}\right\}=a^{\,n-1}u[n-1].
Cada termo \dfrac{A}{z-a} corresponde a A\,a^{\,n-1}u[n-1]. Aplicando isso a cada parcela em Y[z] obtemos
y[n]=\frac{5}{2}\cdot 1^{\,n-1}u[n-1] -14\cdot 2^{\,n-1}u[n-1] + \frac{27}{2}\cdot 3^{\,n-1}u[n-1].
Como 1^{\,n-1}=1, podemos simplificar.

Passo 6

Interpretando a expressão no domínio do tempo: a resposta é nula para n<1 (por conta do u[n-1]) e para n\ge1 tem a forma exponencial combinada acima. Não se assustar se os termos crescerem: o sistema não é estável (polos fora do disco unitário), mas a manipulação algébrica e inversão da transformada estão corretas para obter a resposta de estado nulo.

Resposta

y[n]=\Big(\dfrac{5}{2}-14\cdot 2^{\,n-1}+\dfrac{27}{2}\cdot 3^{\,n-1}\Big)\,u[n-1]

Exercícios relacionados