Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
, para a entrada
Passo 1
O enunciado dá:
- A função de transferência
. - A entrada
(escada unitária: para e para ).
O que se pede: a resposta de estado nulo(ou seja, a saída do sistema devido apenas à entrada, assumindo condições iniciais nulas).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a transformada z da entrada. A transformada unilateral (causal) da escada unitária é
com região de convergência
. Sob condições iniciais nulas, a saída no domínio de
é
Passo 3
Multiplicando
por
obtemos
Expandindo o numerador:
logo
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais da forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
avalia-se em
:
- Em
: . Logo . - Em
: . Logo . - Em
: . Logo .
Portanto
Passo 5
Agora usamos pares usuais de transformada z (para sequências causais):
Cada termo
corresponde a
. Aplicando isso a cada parcela em
obtemos
Como
, podemos simplificar.
Passo 6
Interpretando a expressão no domínio do tempo: a resposta é nula para
(por conta do
) e para
tem a forma exponencial combinada acima. Não se assustar se os termos crescerem: o sistema não é estável (polos fora do disco unitário), mas a manipulação algébrica e inversão da transformada estão corretas para obter a resposta de estado nulo.