Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
, para a entrada
Passo 1
O enunciado pede a resposta de estado nulo (ou seja, a resposta somente devido à entrada, com condições iniciais nulas) do sistema linear e invariante no tempo dado pela função de transferência
para a entrada causal
Informações relevantes fornecidas:
- A função de transferência
está em termos de . - A entrada é
, sequencia causal (multiplicada por ). - Queremos
correspondente à resposta de estado nulo, isto é, e então inverter para obter .
Passo 2
Calcular a transformada em
da entrada
.
Lembrando a soma geométrica para a série causal
(válida para
), temos:
Escrevendo em forma racional em
:
Região de convergência:
(importante para a causalidade).
Passo 3
Calcular
e simplificar a expressão racional.
Multiplicando:
Observe que o polinômio quadrático do denominador pode ser fatorado. Primeiro note que
pois as raízes são
e
(discriminante
, cálculo direto). Assim o denominador total é
Agora simplificar
cancelando o fator
:
Passo 4
Escolher o método de inversão: decomposição em frações parciais com termos da forma
, porque a transformada em
da sequência causal
é
Portanto, se escrevemos
a inversa é
Para obter os coeficientes
pode-se usar o resíduo equivalente:
Como
, ao aplicar a fórmula o fator
cancela e fica uma forma simples:
onde os
são as três polos
.
Passo 5
Calcular os coeficientes
explicitamente para cada polo.
- Para
:
Diferenças com os outros polos:
Produto:
Logo
- Para
:
Diferenças:
Produto:
Logo
- Para
:
Diferenças:
Produto:
Logo
Passo 6
Formar a soma de exponenciais e escrever a resposta no domínio do tempo.
Pelo resultado da decomposição, temos
Aplicando a inversa de
para sequências causais,
Essa expressão é a resposta de estado nulo (causal), válida para
.