Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
H[z]=\frac{6(5 z-1)}{6 z^{2}-5 z+1}, para a entrada x[n]=(4)^{-n} u[n]

Passo 1

O enunciado pede a resposta de estado nulo (ou seja, a resposta somente devido à entrada, com condições iniciais nulas) do sistema linear e invariante no tempo dado pela função de transferência
H[z]=\frac{6(5 z-1)}{6 z^{2}-5 z+1},
para a entrada causal
x[n]=(4)^{-n}u[n]=\left(\frac{1}{4}\right)^{n}u[n].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de transferência H[z] está em termos de z.
  • A entrada é x[n]=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}u[n], sequencia causal (multiplicada por u[n]).
  • Queremos y[n] correspondente à resposta de estado nulo, isto é, Y[z]=H[z]X[z] e então inverter Y[z] para obter y[n].

Passo 2

Calcular a transformada em z da entrada x[n].
Lembrando a soma geométrica para a série causal \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n}=\dfrac{1}{1-a z^{-1}} (válida para |z|>|a|), temos:
X[z]=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}z^{-n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}z^{-1}}.
Escrevendo em forma racional em z:
X[z]=\frac{z}{z-\tfrac{1}{4}}.
Região de convergência: |z|>\tfrac{1}{4} (importante para a causalidade).

Passo 3

Calcular Y[z]=H[z]X[z] e simplificar a expressão racional.
Multiplicando:
Y[z]=\frac{6(5z-1)}{6z^{2}-5z+1}\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{4}}.
Observe que o polinômio quadrático do denominador pode ser fatorado. Primeiro note que
6z^{2}-5z+1=6\!\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\!\left(z-\tfrac{1}{3}\right),
pois as raízes são z=\tfrac{1}{2} e z=\tfrac{1}{3} (discriminante 1, cálculo direto). Assim o denominador total é
(6z^{2}-5z+1)\left(z-\tfrac{1}{4}\right)=6\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\left(z-\tfrac{1}{3}\right)\left(z-\tfrac{1}{4}\right).
Agora simplificar Y[z] cancelando o fator 6:
Y[z]=\frac{6z(5z-1)}{6\,(z-\tfrac{1}{2})(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{4})} =\frac{z(5z-1)}{(z-\tfrac{1}{2})(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{4})}.

Passo 4

Escolher o método de inversão: decomposição em frações parciais com termos da forma \dfrac{z}{z-p}, porque a transformada em z da sequência causal p^{n}u[n] é
\mathcal{Z}\{p^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-p},\qquad\text{(região }|z|>|p|\text{)}.ã
Portanto, se escrevemos
Y[z]=\sum_{k}\alpha_{k}\,\frac{z}{z-p_{k}},
a inversa é
y[n]=\sum_{k}\alpha_{k}\,p_{k}^{\,n}u[n].
Para obter os coeficientes \alpha_{k} pode-se usar o resíduo equivalente:
\alpha_{k}=\lim_{z\to p_{k}}\frac{z-p_{k}}{z}Y[z].
Como Y[z]=\dfrac{z(5z-1)}{\prod_{j}(z-p_{j})}, ao aplicar a fórmula o fator z cancela e fica uma forma simples:
\alpha_{k}=\frac{5p_{k}-1}{\prod_{j\ne k}(p_{k}-p_{j})},
onde os p_{j} são as três polos \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular os coeficientes \alpha_{k} explicitamente para cada polo.
  1. Para p_{1}=\tfrac{1}{2}:
5p_{1}-1=5\cdot\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{5}{2}-1=\tfrac{3}{2}.
Diferenças com os outros polos:
p_{1}-p_{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6},\qquad p_{1}-p_{3}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Produto:
(p_{1}-p_{2})(p_{1}-p_{3})=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{24}.
Logo
\alpha_{1}=\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{24}}=\tfrac{3}{2}\cdot 24=36.
  1. Para p_{2}=\tfrac{1}{3}:
5p_{2}-1=5\cdot\tfrac{1}{3}-1=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}.
Diferenças:
p_{2}-p_{1}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{6},\qquad p_{2}-p_{3}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Produto:
(p_{2}-p_{1})(p_{2}-p_{3})=-\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{12}=-\tfrac{1}{72}.
Logo
\alpha_{2}=\frac{\tfrac{2}{3}}{-\tfrac{1}{72}}=\tfrac{2}{3}\cdot(-72)=-48.
  1. Para p_{3}=\tfrac{1}{4}:
5p_{3}-1=5\cdot\tfrac{1}{4}-1=\tfrac{5}{4}-1=\tfrac{1}{4}.
Diferenças:
p_{3}-p_{1}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4},\qquad p_{3}-p_{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{12}.
Produto:
(p_{3}-p_{1})(p_{3}-p_{2})=-\tfrac{1}{4}\cdot(-\tfrac{1}{12})=\tfrac{1}{48}.
Logo
\alpha_{3}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{48}}=\tfrac{1}{4}\cdot 48=12.

Passo 6

Formar a soma de exponenciais e escrever a resposta no domínio do tempo.
Pelo resultado da decomposição, temos
Y[z]=36\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}-48\frac{z}{z-\tfrac{1}{3}}+12\frac{z}{z-\tfrac{1}{4}}.
Aplicando a inversa de z/(z-p) para sequências causais,
y[n]=36\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n]-48\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}u[n]+12\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}u[n].
Essa expressão é a resposta de estado nulo (causal), válida para n\ge 0.

Resposta

y[n]=36\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n]-48\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}u[n]+12\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}u[n]

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