Encontre as funções f circ g, g circ f, f circ f, g circ g e dê seus domínios.
f(x)=sin (x), g(x)=x^2+1

Passo 1

Temos as funções f(x) = sin(x) e g(x) = x² + 1. O objetivo é encontrar as composições f ∘ g, g ∘ f, f ∘ f e g ∘ g, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo aqui é composição de funções e regras de domínio.

Passo 2

Para compor funções, lembramos que se h = f ∘ g então
E a regra de domínio é

Passo 3

Vamos achar primeiro os domínios individuais. A função f(x)=sin(x) é definida para todo x real, logo
.
E g(x)=x²+1 também é definida para todo x real, então
.

Passo 4

Agora calculamos f ∘ g:
Como g(x) está em (fcirc g)(x)=fl(g(x))=sin(x^2+1) para todo x e f aceita qualquer real,
.

Passo 5

Em seguida g ∘ f:
Como sin x é real e g aceita qualquer real,
.

Passo 6

Agora f ∘ f:
Como (fcirc f)(x)=fl(f(x))=sin(sin x) e f está definido em todo real,
.

Passo 7

Por fim g ∘ g:
Como g aceita qualquer real,
.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sin(x^2+1), dom(f\circ g)=\mathbb R; (g\circ f)(x)=\sin^2x+1, dom(g\circ f)=\mathbb R; (f\circ f)(x)=\sin(\sin x), dom(f\circ f)=\mathbb R; (g\circ g)(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2, dom(g\circ g)=\mathbb R.

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