Encontre as funções
e dê seus domínios.
Passo 1
Temos as funções f(x) = sin(x) e g(x) = x² + 1. O objetivo é encontrar as composições f ∘ g, g ∘ f, f ∘ f e g ∘ g, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo aqui é composição de funções e regras de domínio.
Passo 2
Para compor funções, lembramos que se h = f ∘ g então
E a regra de domínio é
Passo 3
Vamos achar primeiro os domínios individuais. A função f(x)=sin(x) é definida para todo x real, logo
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E g(x)=x²+1 também é definida para todo x real, então
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E g(x)=x²+1 também é definida para todo x real, então
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Passo 4
Agora calculamos f ∘ g:
Como g(x) está em
para todo x e f aceita qualquer real,
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Passo 5
Em seguida g ∘ f:
Como sin x é real e g aceita qualquer real,
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Passo 6
Agora f ∘ f:
Como
e f está definido em todo real,
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Passo 7
Por fim g ∘ g:
Como g aceita qualquer real,
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Resposta
(f\circ g)(x)=\sin(x^2+1), dom(f\circ g)=\mathbb R; (g\circ f)(x)=\sin^2x+1, dom(g\circ f)=\mathbb R; (f\circ f)(x)=\sin(\sin x), dom(f\circ f)=\mathbb R; (g\circ g)(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2, dom(g\circ g)=\mathbb R.