Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
\quad f(x)=\frac{1}{x}, \quad g(x)=2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as quatro composições de funções \displaystyle f\circ g,\;g\circ f,\;f\circ f e \displaystyle g\circ g
e também determinar o domínio de cada uma.
O conteúdo envolve definição de composição de funções e análise de domínio, em especial restrições vindas de denominadores.

Passo 2

Para obter \,(f\circ g)(x), substituímos g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\frac{1}{\,g(x)\!} =\frac{1}{\,2x+4\!}.
Como g(x) pode ser qualquer real, mas no denominador não pode ser zero, impomos
2x+4\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq-2.
Logo
(f\circ g)(x)=\frac{1}{2x+4}, \quad \mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 3

Para \,(g\circ f)(x), substituímos f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =2\cdot\frac{1}{x}+4 =\frac{2}{x}+4.
Aqui f(x)=1/x exige x\neq0. Não há outra restrição em g. Portanto
(g\circ f)(x)=\frac{2}{x}+4, \quad \mathrm{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Para \,(f\circ f)(x), aplicamos f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr) =f\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{1}{\,\frac{1}{x}\!} =x.
O primeiro f exige x\neq0. Depois, f(1/x) exige 1/x\neq0, mas isso já é garantido por x\neq0. Assim
(f\circ f)(x)=x, \quad \mathrm{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 5

Para \,(g\circ g)(x), aplicamos g duas vezes:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr) = g(2x+4) =2\,(2x+4)+4 =4x+8+4 =4x+12.
Como g está definido em todo \mathbb{R}, não há restrição de domínio. Logo
(g\circ g)(x)=4x+12, \quad \mathrm{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac{1}{2x+4},\quad \mathrm{dom}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}. \displaystyle (g\circ f)(x)=\frac{2}{x}+4,\quad \mathrm{dom}=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \displaystyle (f\circ f)(x)=x,\quad \mathrm{dom}=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \displaystyle (g\circ g)(x)=4x+12,\quad \mathrm{dom}=\mathbb{R}.

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