Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
f(x)=|x|, \quad g(x)=2 x+3

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=|x|,\quad g(x)=2x+3
e pede para encontrar as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, além de seus domínios. O conteúdo envolve definição de composição de funções e análise de domínio, lembrando que cada composição só existe quando a imagem da primeira função está no domínio da segunda.

Passo 2

Para calcular f\circ g aplicamos primeiro g e depois f. Assim,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\bigl|\,2x+3\bigr|.
Como g está definida em \mathbb{R} e o valor 2x+3 sempre pertence a \mathbb{R}, e f também é definida em todo \mathbb{R}, o domínio de f\circ g é \mathbb{R}.

Passo 3

Para calcular g\circ f aplicamos primeiro f e depois g. Temos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=2\,\lvert x\rvert+3.
Novamente f é definida em todo \mathbb{R} e seu valor \lvert x\rvert está em \mathbb{R}, onde g também atua. Logo o domínio de g\circ f é \mathbb{R}.

Passo 4

Para f\circ f aplicamos f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=\bigl|\lvert x\rvert\bigr|=\lvert x\rvert.
Como f está definida em todo \mathbb{R} e o resultado \lvert x\rvert também pertence a \mathbb{R}, o domínio de f\circ f é \mathbb{R}.

Passo 5

Para g\circ g aplicamos g duas vezes:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=2\,(2x+3)+3=4x+9.
E como g é definida em todo \mathbb{R}, o domínio de g\circ g é \mathbb{R}.

Resposta

f\circ g:\,(f\circ g)(x)=|2x+3|,\;\mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}. g\circ f:\,(g\circ f)(x)=2|x|+3,\;\mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}. f\circ f:\,(f\circ f)(x)=|x|,\;\mathrm{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}. g\circ g:\,(g\circ g)(x)=4x+9,\;\mathrm{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

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