Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, e g \circ g e seus respectivos domínios
\quad f(x)=x-4, \quad g(x)=|x+4|

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções
f(x)=x-4
e
g(x)=|x+4|
e pede as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, bem como seus domínios. O tema é composição de funções e determinação de domínio.

Passo 2

Para f\circ g aplicamos g em x e depois f no resultado:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=g(x)-4=|x+4|-4.
Como g está definido em todo \mathbb{R} e f aceita qualquer real, temos
\mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para g\circ f aplicamos f em x e depois g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl|\,f(x)+4\bigr|=\bigl|x-4+4\bigr|=|x|.
Novamente f e g estão definidos em todo \mathbb{R}, logo
\mathrm{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Para f\circ f aplicamos f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=f(x-4)=(x-4)-4=x-8.
Como f é definida em todo \mathbb{R}, temos
\mathrm{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Para g\circ g aplicamos g duas vezes:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=\bigl|\,|x+4|+4\bigr|.
E como g aceita qualquer real como entrada, fica
\mathrm{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=|x+4|-4, dom (f\circ g)=\mathbb{R}. (g\circ f)(x)=|x|, dom (g\circ f)=\mathbb{R}. (f\circ f)(x)=x-8, dom (f\circ f)=\mathbb{R}. (g\circ g)(x)=\bigl||x+4|+4\bigr|, dom (g\circ g)=\mathbb{R}.

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