Encontre o gradiente, divergente, laplaciano e rotacional em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre, em coordenadas cilíndricas e esféricas, as expressões para:
o gradiente de um escalar;
a divergente de um campo vetorial;
o rotacional (ou curl) de um campo vetorial;
o laplaciano (do escalar, isto é, \nabla^2 aplicado a um escalar).
Informações que vou usar (padrões que são esperados):
Nas coordenadas cilíndricas vou usar \rho (raio), \varphi (ângulo azimutal) e z.
Nas coordenadas esféricas vou usar r (raio), \theta (colatitude, ângulo polar contado a partir do eixo z) e \varphi (azimute).
Para os operadores vetoriais vou escrever os componentes do campo vetorial \mathbf{A} na base local ortonormal dessas coordenadas: em cilíndricas \mathbf{A}=A_\rho\,\hat{\rho}+A_\varphi\,\hat{\varphi}+A_z\,\hat{z}; em esféricas \mathbf{A}=A_r\,\hat{r}+A_\theta\,\hat{\theta}+A_\varphi\,\hat{\varphi}.
Vou apresentar também a forma geral para coordenadas curvilíneas ortogonais (com fatores de escala), porque isso explica de onde vêm as fórmulas e ajuda a decorar/aplicar na prova.
Passo 2
Noção geral (coordenadas curvilíneas ortogonais). Isso é importante porque cilindricas e esféricas são casos especiais.
Considere coordenadas (q_1,q_2,q_3) ortogonais com fatores de escala (Lamé) h_1,h_2,h_3. A posição \mathbf{r} varia como
Explicação curta: cada componente do gradiente é a derivada do escalar ao longo da coordenada correspondente, dividida pelo fator de escala que converte variação em comprimento físico.
Passo 3
Divergente. Intuição física: divergente mede fluxo por unidade de volume. Volume elemental em coordenadas ortogonais vale
dV=h_1 h_2 h_3\,dq_1 dq_2 dq_3.
Calculando o fluxo que sai por cada face do elemento e dividindo por dV chega-se à fórmula geral
onde A_i são os componentes de \mathbf{A} na base \hat{e}_i. Observação prática: sempre multiplique cada componente pelo produto dos dois fatores de escala das outras direções antes de derivar.
Passo 4
Rotacional (curl). Há uma forma em determinante análoga à de coordenadas cartesianas, adaptada a fatores de escala:
Interpretação: trate a primeira linha como vetores (com fatores h_i), a segunda como derivadas parciais e a terceira como os produtos h_i A_i. Expandindo esse determinante obtém-se as fórmulas componentes (vai dar as versões explícitas para cilíndricas e esféricas abaixo).]
Passo 5
Laplaciano de um escalar. Definição usual \nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f). Usando as fórmulas acima resulta a forma geral
Essa expressão é prática: calcular \nabla f com divisão por h_i e depois aplicar a fórmula da divergente com os fatores apropriados; no final dá a forma apresentada.
Passo 6
Agora aplicando ao caso das coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z).
Vetores unitários locais: \hat{\rho} aponta radialmente, \hat{\varphi} tangencial, \hat{z} paralelo ao eixo z. Lembre que \hat{\rho} e \hat{\varphi} dependem de \varphi.
Dica prática para a prova: memorização fácil — nas derivadas radiais aparece o fator 1/\rho ou \rho por conta do elemento de área/volume; componentes angulares trazem \rho no denominador.]
Passo 7
Agora aplicando ao caso das coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), com \theta colatitude (ângulo a partir do eixo z).
Dica prática: a parte angular do laplaciano (as duas últimas parcelas) forma o operador angular (o chamado Laplaciano angular), importante em separação de variáveis.]
Passo 8
Pequeno exemplo ilustrativo (ajuda a fixar):
Em esféricas, para f(r)=\dfrac{1}{r} (função radial apenas), calcular \nabla^2 f com a fórmula: