Encontre o gradiente, divergente, laplaciano e rotacional em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre, em coordenadas cilíndricas e esféricas, as expressões para:
  • o gradiente de um escalar;
  • a divergente de um campo vetorial;
  • o rotacional (ou curl) de um campo vetorial;
  • o laplaciano (do escalar, isto é, \nabla^2 aplicado a um escalar).
Informações que vou usar (padrões que são esperados):
  • Nas coordenadas cilíndricas vou usar \rho (raio), \varphi (ângulo azimutal) e z.
  • Nas coordenadas esféricas vou usar r (raio), \theta (colatitude, ângulo polar contado a partir do eixo z) e \varphi (azimute).
  • Para os operadores vetoriais vou escrever os componentes do campo vetorial \mathbf{A} na base local ortonormal dessas coordenadas: em cilíndricas \mathbf{A}=A_\rho\,\hat{\rho}+A_\varphi\,\hat{\varphi}+A_z\,\hat{z}; em esféricas \mathbf{A}=A_r\,\hat{r}+A_\theta\,\hat{\theta}+A_\varphi\,\hat{\varphi}.
  • Vou apresentar também a forma geral para coordenadas curvilíneas ortogonais (com fatores de escala), porque isso explica de onde vêm as fórmulas e ajuda a decorar/aplicar na prova.

Passo 2

Noção geral (coordenadas curvilíneas ortogonais). Isso é importante porque cilindricas e esféricas são casos especiais.
  • Considere coordenadas (q_1,q_2,q_3) ortogonais com fatores de escala (Lamé) h_1,h_2,h_3. A posição \mathbf{r} varia como
d\mathbf{r}=h_1\,dq_1\,\hat{e}_1+h_2\,dq_2\,\hat{e}_2+h_3\,dq_3\,\hat{e}_3.
Aqui \hat{e}_i são os vetores unitários locais (imutáveis em magnitude, mas geralmente dependentes das coordenadas).
  • Gradiente. Parte da ideia: para um escalar f,
df=\nabla f\cdot d\mathbf{r}.
Substituindo d\mathbf{r} e escrevendo \nabla f=\sum_i (\nabla f)_i \hat{e}_i obtém-se a fórmula compacta
(\nabla f)_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}.
Ou em forma vetorial:
\nabla f=\sum_{i=1}^{3}\hat{e}_i\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}.
Explicação curta: cada componente do gradiente é a derivada do escalar ao longo da coordenada correspondente, dividida pelo fator de escala que converte variação em comprimento físico.

Passo 3

Divergente. Intuição física: divergente mede fluxo por unidade de volume. Volume elemental em coordenadas ortogonais vale
dV=h_1 h_2 h_3\,dq_1 dq_2 dq_3.
Calculando o fluxo que sai por cada face do elemento e dividindo por dV chega-se à fórmula geral
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\big(h_2 h_3 A_1\big) +\frac{\partial}{\partial q_2}\big(h_3 h_1 A_2\big) +\frac{\partial}{\partial q_3}\big(h_1 h_2 A_3\big) \right],
onde A_i são os componentes de \mathbf{A} na base \hat{e}_i. Observação prática: sempre multiplique cada componente pelo produto dos dois fatores de escala das outras direções antes de derivar.

Passo 4

Rotacional (curl). Há uma forma em determinante análoga à de coordenadas cartesianas, adaptada a fatores de escala:
\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \begin{vmatrix} h_1\hat{e}_1 & h_2\hat{e}_2 & h_3\hat{e}_3\\[4pt] \partial_{q_1} & \partial_{q_2} & \partial_{q_3}\\[4pt] h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}.
Interpretação: trate a primeira linha como vetores (com fatores h_i), a segunda como derivadas parciais e a terceira como os produtos h_i A_i. Expandindo esse determinante obtém-se as fórmulas componentes (vai dar as versões explícitas para cilíndricas e esféricas abaixo).]

Passo 5

Laplaciano de um escalar. Definição usual \nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f). Usando as fórmulas acima resulta a forma geral
\nabla^2 f=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial q_i}\!\left(\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2}\frac{\partial f}{\partial q_i}\right).
Essa expressão é prática: calcular \nabla f com divisão por h_i e depois aplicar a fórmula da divergente com os fatores apropriados; no final dá a forma apresentada.

Passo 6

Agora aplicando ao caso das coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z).
  • Definição e fatores de escala:
\text{coordenadas: }(\rho,\varphi,z),\qquad h_\rho=1,\quad h_\varphi=\rho,\quad h_z=1.
Vetores unitários locais: \hat{\rho} aponta radialmente, \hat{\varphi} tangencial, \hat{z} paralelo ao eixo z. Lembre que \hat{\rho} e \hat{\varphi} dependem de \varphi.
  • Gradiente de um escalar f(\rho,\varphi,z):
\nabla f=\hat{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \rho} +\hat{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi} +\hat{z}\,\frac{\partial f}{\partial z}.
  • Divergente de \mathbf{A}=A_\rho\,\hat{\rho}+A_\varphi\,\hat{\varphi}+A_z\,\hat{z}:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\rho) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} +\frac{\partial A_z}{\partial z}.
  • Rotacional (componentes):
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{A})_\rho &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\varphi &= \frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{A})_z &= \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right). \end{aligned}
  • Laplaciano escalar para f:
\nabla^2 f =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
Dica prática para a prova: memorização fácil — nas derivadas radiais aparece o fator 1/\rho ou \rho por conta do elemento de área/volume; componentes angulares trazem \rho no denominador.]

Passo 7

Agora aplicando ao caso das coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), com \theta colatitude (ângulo a partir do eixo z).
  • Definição e fatores de escala:
\text{coordenadas: }(r,\theta,\varphi),\qquad h_r=1,\quad h_\theta=r,\quad h_\varphi=r\sin\theta.
Vetores unitários: \hat{r} radial, \hat{\theta} polar (decresce quando \theta aumenta), \hat{\varphi} azimutal.
  • Gradiente de f(r,\theta,\varphi):
\nabla f=\hat{r}\,\frac{\partial f}{\partial r} +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}.
  • Divergente de \mathbf{A}=A_r\,\hat{r}+A_\theta\,\hat{\theta}+A_\varphi\,\hat{\varphi}:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 A_r\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\big(\sin\theta\,A_\theta\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}.
  • Rotacional (componentes):
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{A})_r &= \frac{1}{r\sin\theta}\left( \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\,A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right),\\[6pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\theta &= \frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi) \right),\\[6pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\varphi &= \frac{1}{r}\left( \frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right). \end{aligned}
  • Laplaciano escalar para f:
\nabla^2 f =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.
Dica prática: a parte angular do laplaciano (as duas últimas parcelas) forma o operador angular (o chamado Laplaciano angular), importante em separação de variáveis.]

Passo 8

Pequeno exemplo ilustrativo (ajuda a fixar):
  • Em esféricas, para f(r)=\dfrac{1}{r} (função radial apenas), calcular \nabla^2 f com a fórmula:
\frac{\partial f}{\partial r}=-\frac{1}{r^2},\qquad \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) =\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\left(-\frac{1}{r^2}\right)\right)=\frac{\partial}{\partial r}(-1)=0,
logo \nabla^2\!\left(\dfrac{1}{r}\right)=0 para r\neq 0. Resultado útil e frequentemente usado em física (potencial de Coulomb fora da origem).

Resposta

Cilíndricas (\rho,\varphi,z):
\nabla f=\hat{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \rho} +\hat{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi} +\hat{z}\,\frac{\partial f}{\partial z}
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\rho) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} +\frac{\partial A_z}{\partial z}
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{A})_\rho &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\varphi &= \frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho},\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{A})_z &= \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \end{aligned}
\nabla^2 f =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
Esféricas (r,\theta,\varphi) ( \theta colatitude):
\nabla f=\hat{r}\,\frac{\partial f}{\partial r} +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 A_r\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\big(\sin\theta\,A_\theta\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{A})_r &= \frac{1}{r\sin\theta}\left( \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\,A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right),\\[6pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\theta &= \frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi) \right),\\[6pt] (\nabla\times\mathbf{A})_\varphi &= \frac{1}{r}\left( \frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \end{aligned}
\nabla^2 f =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}]

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