Prove que se \mathrm{F}_{i k} é um tensor antissimétrico
então
T_{i j k}=\partial_{i} F_{j k}+\partial_{j} F_{k i}+\partial_{k} F_{i j}
é um tensor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Foi dada uma quantidade \,F_{ik}\, que é um tensor antissimétrico, isto é,
F_{ik}=-F_{ki}.
  • Define-se
T_{i j k}=\partial_{i} F_{j k}+\partial_{j} F_{k i}+\partial_{k} F_{i j}.
O que se pede: provar que \,T_{ijk}\, é um tensor (mais precisamente um tensor covariante de ordem 3), isto é, provar que sob mudança de coordenadas ele satisfaz a lei de transformação de um tensor (0,3)
T'_{ijk}=\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\,T_{abc}.

Passo 2

Lembrando (passo a passo, como numa prova):
  • A lei de transformação de um tensor covariante de ordem 2 é
F'_{jk}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k}}\,F_{pq}.
Aqui as derivadas parciais dos coeficientes de transformação são as jacobianas da mudança de coordenadas.
  • A derivada parcial em coordenadas primadas escreve-se pela regra da cadeia:
\partial'_{i}=\frac{\partial}{\partial x'^{i}}=\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\partial_{a}.
  • Ao derivar um produto aparece a regra do produto (chain rule). Ao aplicar \partial'_{i} a F'_{jk} vamos obter um termo “tensorial” (com uma \partial_a F_{bc}) e termos extras contendo segundas derivadas das transformações de coordenadas. A idéia é mostrar que esses termos extras somados ciclicamente se anulam por causa da antissimetria de F_{pq}.

Passo 3

Calculemos \partial'_{i}F'_{jk} aplicando produto e cadeia. Partindo de
F'_{jk}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k}}F_{pq},
temos
\partial'_{i}F'_{jk}=\frac{\partial}{\partial x'^{i}}\!\left(\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}\right)\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k}}F_{pq} +\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial}{\partial x'^{i}}\!\left(\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k}}\right)F_{pq} +\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k}}\frac{\partial}{\partial x'^{i}}F_{pq}.
Usando \dfrac{\partial}{\partial x'^{i}}=\dfrac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\partial_{a} e escrevendo de modo compacto os termos com segundas derivadas, obtemos
\partial'_{i}F'_{jk} =\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\partial_{a}F_{bc} +\frac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}F_{bc} +\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial^{2} x^{c}}{\partial x'^{i}\partial x'^{k}}F_{bc}.
Esta fórmula é apenas a expansão direta pela regra do produto e cadeia; os primeiros fatores com três jacobianas multiplicando \partial_{a}F_{bc} formam o termo que tem comportamento tensorial, os outros dois termos contêm segundas derivadas das funções de transformação de coordenadas.

Passo 4

Agora formamos T'_{ijk}=\partial'_{i}F'_{jk}+\partial'_{j}F'_{ki}+\partial'_{k}F'_{ij}. Somando as três expressões do passo anterior, o termo “tensorial” soma-se de forma direta e dá exatamente a transformação tensorial desejada:
\begin{aligned} &\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\partial_{a}F_{bc} +\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{k}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{i}}\partial_{a}F_{bc} +\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{k}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{j}}\partial_{a}F_{bc} \\\ &\qquad= \frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}} \bigl(\partial_{a}F_{bc}+\partial_{b}F_{ca}+\partial_{c}F_{ab}\bigr) = \frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\,T_{abc}. \end{aligned}
Portanto a parte com derivadas de F transforma corretamente. Resta verificar que os termos com segundas derivadas das coordenadas desaparecem quando somados ciclicamente.

Passo 5

Coletemos os termos com segundas derivadas. Da expansão em cada parcela \partial'_{i}F'_{jk} surgem dois termos extras; somando ciclicamente obtemos a soma
S=\sum_{\text{cyc}(i,j,k)}\left[ \frac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}F_{bc} +\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial^{2} x^{c}}{\partial x'^{i}\partial x'^{k}}F_{bc} \right].
Aqui \sum_{\text{cyc}(i,j,k)} significa somar as três permutações cíclicas (i,j,k), (j,k,i), (k,i,j).
No segundo termo da soma acima fazemos a troca de índices dummies b\leftrightarrow c. Isso troca o sinal do fator F_{bc} porque F_{cb}=-F_{bc}, obtendo-se
\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial^{2} x^{c}}{\partial x'^{i}\partial x'^{k}}F_{bc} = -\,\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{k}}F_{bc}.
Assim podemos escrever S somando três termos do tipo
\frac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}F_{bc}
e três termos iguais com sinais opostos e índices permutados. Agrupando convenientemente (usando que as derivadas mistas das funções de transformação comutam, i.e. \partial^{2}x^{b}/(\partial x'^{i}\partial x'^{j})=\partial^{2}x^{b}/(\partial x'^{j}\partial x'^{i})), cada um dos três termos do primeiro grupo cancela com um termo do segundo grupo. Para ver isso de modo explícito, expanda os seis termos e pareie:
  • o termo com \dfrac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{j}}\dfrac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}F_{bc} cancela com o termo que, depois da troca b\leftrightarrow c, é -\dfrac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\dfrac{\partial^{2} x^{b}}{\partial x'^{i}\partial x'^{j}}F_{bc};
  • analogamente os outros pares se cancelam.
    Portanto S=0. Em palavras: os termos não-tensoriais são simétricos em dois índices da derivada segunda enquanto F_{bc} é antissimétrico nesses mesmos índices, e essa combinação força o aniquilamento dos termos extras.

Passo 6

Com a soma dos termos extras anulada, sobra apenas o termo tensorial do passo 4. Logo
T'_{ijk}=\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\,T_{abc},
ou seja, T_{ijk} transforma como um tensor covariante de ordem 3. Isso conclui a prova.

Resposta

T_{ijk} é um tensor covariante de ordem 3; sob mudança de coordenadas
T'_{ijk}=\frac{\partial x^{a}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{k}}\,T_{abc}. \)

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