Prove que se
é um tensor antissimétrico
então
é um tensor.
então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Foi dada uma quantidade
que é um tensor antissimétrico, isto é,
- Define-se
O que se pede: provar que
é um tensor (mais precisamente um tensor covariante de ordem 3), isto é, provar que sob mudança de coordenadas ele satisfaz a lei de transformação de um tensor (0,3)
Passo 2
Lembrando (passo a passo, como numa prova):
- A lei de transformação de um tensor covariante de ordem 2 é
Aqui as derivadas parciais dos coeficientes de transformação são as jacobianas da mudança de coordenadas.
- A derivada parcial em coordenadas primadas escreve-se pela regra da cadeia:
- Ao derivar um produto aparece a regra do produto (chain rule). Ao aplicar
a vamos obter um termo “tensorial” (com uma ) e termos extras contendo segundas derivadas das transformações de coordenadas. A idéia é mostrar que esses termos extras somados ciclicamente se anulam por causa da antissimetria de .
Passo 3
Calculemos
aplicando produto e cadeia. Partindo de
temos
Usando
e escrevendo de modo compacto os termos com segundas derivadas, obtemos
Esta fórmula é apenas a expansão direta pela regra do produto e cadeia; os primeiros fatores com três jacobianas multiplicando
formam o termo que tem comportamento tensorial, os outros dois termos contêm segundas derivadas das funções de transformação de coordenadas.
Passo 4
Agora formamos
. Somando as três expressões do passo anterior, o termo “tensorial” soma-se de forma direta e dá exatamente a transformação tensorial desejada:
Portanto a parte com derivadas de
transforma corretamente. Resta verificar que os termos com segundas derivadas das coordenadas desaparecem quando somados ciclicamente.
Passo 5
Coletemos os termos com segundas derivadas. Da expansão em cada parcela
surgem dois termos extras; somando ciclicamente obtemos a soma
Aqui
significa somar as três permutações cíclicas
.
No segundo termo da soma acima fazemos a troca de índices dummies . Isso troca o sinal do fator
porque
, obtendo-se
No segundo termo da soma acima fazemos a troca de índices dummies
Assim podemos escrever
somando três termos do tipo
e três termos iguais com sinais opostos e índices permutados. Agrupando convenientemente (usando que as derivadas mistas das funções de transformação comutam, i.e.
), cada um dos três termos do primeiro grupo cancela com um termo do segundo grupo. Para ver isso de modo explícito, expanda os seis termos e pareie:
- o termo com
cancela com o termo que, depois da troca , é ; - analogamente os outros pares se cancelam.
Portanto. Em palavras: os termos não-tensoriais são simétricos em dois índices da derivada segunda enquanto é antissimétrico nesses mesmos índices, e essa combinação força o aniquilamento dos termos extras.
Passo 6
Com a soma dos termos extras anulada, sobra apenas o termo tensorial do passo 4. Logo
ou seja,
transforma como um tensor covariante de ordem 3. Isso conclui a prova.