1. Encontre a impedância de entrada de um cabo coaxial curto-circuitado se Z_{0}=65+j 38 \Omega, \gamma=0,7+j 2,5 / m e o comprimento da linha é 0,8 m. ( 1,5 pontos).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado\n
  • Pedido: encontrar a impedância de entrada de uma linha coaxial curta-circuitada (ou seja, com carga Z_L=0).\n
  • Dados fornecidos:
    • Impedância característica: Z_{0}=65+j\,38\\ \Omega.
    • Constante de propagação: \gamma=0{,}7+j\,2{,}5\\ \text{m}^{-1}.
    • Comprimento da linha: l=0{,}8\\ \text{m}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por que ela vale aqui\n
  • A impedância de entrada de uma linha de transmissão, com carga Z_L, é dada pela fórmula geral
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_{0}+Z_{L}\operatorname{tanh}(\gamma l)}.
  • Onde:
    • Z_{\text{in}} é a impedância vista na entrada da linha.
    • Z_{0} é a impedância característica da linha (dada).
    • Z_{L} é a impedância na extremidade (a carga).
    • \gamma é a constante de propagação complexa.
    • l é o comprimento da linha.
  • No caso de curto-circuito temos \,Z_{L}=0. Substituindo na fórmula:
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{0+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_{0}+0} = Z_{0}\,\operatorname{tanh}(\gamma l).
Portanto, para este problema basta calcular \operatorname{tanh}(\gamma l) e multiplicar por Z_{0}.

Passo 3

Calcular o argumento da função hiperbólica: \gamma l\n
  • Multiplicando \gamma pelo comprimento l:
\gamma l = (0{,}7 + j\,2{,}5)\cdot 0{,}8 = 0{,}56 + j\,2{,}0.
Logo precisamos de \operatorname{tanh}(0{,}56 + j\,2{,}0).

Passo 4

Como calcular \operatorname{tanh} de um número complexo (fórmula usada)\n
  • Para u=x+jy vale a identidade
\operatorname{tanh}(x+jy)=\frac{\operatorname{sinh}(2x)+j\sin(2y)}{\operatorname{cosh}(2x)+\cos(2y)}.
Aqui x=0{,}56 e y=2{,}0. Vamos calcular cada termo numérico separadomente.

Passo 5

Cálculo numérico das funções hiperbólicas e trigonométricas\n
  • Primeiro calcule 2x e 2y:
2x=1{,}12,\qquad 2y=4{,}0.
  • Calcular \operatorname{sinh}(1{,}12) e \operatorname{cosh}(1{,}12). Usando e^{1{,}12}\approx 3{,}0649 e e^{-1{,}12}\approx0{,}3264:
\operatorname{sinh}(1{,}12)=\frac{e^{1{,}12}-e^{-1{,}12}}{2}\approx\frac{3{,}0649-0{,}3264}{2}=1{,}3693,
\operatorname{cosh}(1{,}12)=\frac{e^{1{,}12}+e^{-1{,}12}}{2}\approx\frac{3{,}0649+0{,}3264}{2}=1{,}6956.
  • Calcular \sin(4{,}0) e \cos(4{,}0) (radianos):
\sin(4{,}0)\approx -0{,}75680,\qquad \cos(4{,}0)\approx -0{,}65364.
  • Agora formar numerador e denominador da identidade:
\text{num}=\operatorname{sinh}(2x)+j\sin(2y)\approx 1{,}3693 + j(-0{,}75680),
\text{den}=\operatorname{cosh}(2x)+\cos(2y)\approx 1{,}6956 + (-0{,}65364)=1{,}0420.

Passo 6

Dividir para obter \operatorname{tanh}(\gamma l)\n
  • Dividindo componente a componente:
\operatorname{tanh}(0{,}56+j\,2{,}0)=\frac{1{,}3693 + j(-0{,}75680)}{1{,}0420}\approx 1{,}3139 - j\,0{,}7266.

Passo 7

Multiplicar pelo valor de Z_{0} para obter Z_{\text{in}}\n
  • Temos Z_{0}=65 + j\,38 e \operatorname{tanh}(\gamma l)\approx 1{,}3139 - j\,0{,}7266. Multiplicando complexos:
Z_{\text{in}}=(65+j\,38)(1{,}3139 - j\,0{,}7266).
  • Calcule as partes real e imaginária usando (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc):
\Re\{Z_{\text{in}}\}=65\cdot1{,}3139 - 38\cdot(-0{,}7266)\approx 85{,}4035 + 27{,}591 = 112{,}9945,
\Im\{Z_{\text{in}}\}=65\cdot(-0{,}7266) + 38\cdot1{,}3139\approx -47{,}229 + 49{,}9282 = 2{,}6992.
  • Portanto, aproximadamente
Z_{\text{in}}\approx 112{,}99 + j\,2{,}70\\ \Omega.

Resposta

Z_{\text{in}}\approx 112{,}99 + j\,2{,}70\\ \Omega

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