- Uma linha de transmissão sem perdas operando em 20 MHz possui uma impedância caracteristica de
. A linha possui um comprimento de 10 m e sua impedância de entrada tem o valor de
Determine a)
b)
. (1,5 pontos).
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
- Frequência:
. - Impedância característica da linha (sem perdas):
. - Comprimento físico da linha:
. - Impedância de entrada medida na extremidade que alimenta a linha:
.
O enunciado pede:
(a) (a impedância no final da linha, na carga);
(b) (o coeficiente de reflexão — vou calcular o coeficiente de reflexão na carga,
);
(c) (a razão de ondas estacionárias, SWR — em português ROE; vou chamá‑la de
).
(a)
(b)
(c)
Observação: a resolução precisa do comprimento elétrico da linha
. Não foi dada a velocidade de propagação na linha; aqui vou assumir a hipótese padrão usada em muitos exercícios: a velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo
. Se a linha tivesse outra velocidade (por exemplo um dielétrico com
), os ângulos mudariam; mas o procedimento é o mesmo. Vou deixar explícito onde usei essa hipótese.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
- Para uma linha sem perdas a relação entre impedância de entrada
e impedância de carga é
onde
é a constante de propagação (número de onda) e
é o comprimento físico da linha.
- Para uma onda TEM (assunção padrão),
e . Com temos
Então o comprimento
corresponde a
- Vamos precisar de
. Como e ,
- Para achar
isolamos a fórmula de . Reescrevendo e resolvendo para (álgebra direta):
onde escrevemos
. Isolando
,
Essa expressão é apenas manipulação algébrica da relação original; agora vamos substituir os números e calcular.
Passo 3
Substituição dos valores e cálculo passo a passo (primeiras substituições):
-
. -
. -
.
Calculemos primeiro alguns produtos que aparecem com
:
Para multiplicar
note que
. Multiplicando por
:
Numericamente,
então
Agora substituímos na fórmula para
:
Calculemos numerador e denominador separadamente (em forma complexa):
- Numerador
.
Multiplicando pelo(fora da fração) dá
- Denominador
Portanto
Passo 4
Divisão complexa (detalhando para você conseguir replicar na prova sem calculadora, usando etapas):
Para dividir multiplica‑se numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Para dividir
Aplicando aos nossos números:
Calcule
(módulo ao quadrado do denominador):
Agora o produto no numerador:
Faço os produtos:
-
-
-
-
-
então (aqui somam‑se corretamente; ao organizar dá um valor aproximado)
Calculando precisamente obtemos a parte imaginária do numerador aproximadamente.
Portanto o numerador complexo é aproximadamente
Dividindo cada parte por
resulta
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para prova), obtemos
Passo 5
Agora calculamos o coeficiente de reflexão na carga
. Fórmula:
Substituindo
e
:
Fazendo a divisão complexa como antes (multiplicando pelo conjugado do denominador) e simplificando chega‑se a
Vamos também expressar o módulo e a fase (úteis para interpretar e para o cálculo do SWR):
- Módulo:
- Fase (ângulo), tomando o argumento complexo (repare que parte real é negativa e imaginária positiva, então ângulo no segundo quadrante):
Passo 6
Cálculo da razão de ondas estacionárias
(SWR), usando a relação padrão:
Com
,
Interpretação curta:
é uma ROE relativamente alta, coerente com o fato de a carga ser bem diferente de
.
Passo 7
Recapitulando o que foi feito e incentivo rápido: usamos a fórmula exata para linha sem perdas, converti comprimento físico em comprimento elétrico com a hipótese
(se a linha tivesse velocidade diferente, substituir
e recalcular
), resolvi a equação para
algebricamente e depois calculei
e
. Se estiver nervoso pra prova: memorize a forma da equação de
e o procedimento de isolar
— é só álgebra complexa e divisão por conjugado.
Resposta
(a)
(b)
(c)