Encontre o instante (ou os intantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a trajetória vetorial
no intervalo
e queremos encontrar os instantes em que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor aceleração. O conteúdo principal aqui é derivação de funções vetoriais e condição de ortogonalidade via produto escalar. A teoria que vamos usar é: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 2
Primeiro passo de cálculo: vamos obter o vetor velocidade derivando
. Para componentes temos:
Passo 3
Segundo passo de cálculo: derivamos novamente para obter o vetor aceleração:
Passo 4
Terceiro passo de cálculo: aplicamos a condição de ortogonalidade via produto escalar. Calculamos
Passo 5
Quarto passo: impomos
, ou seja
. As soluções gerais são
. No intervalo dado
isso corresponde a:
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em t = 0, π e 2π.