Encontre o instante (ou os intantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
r(t)=(t-sen t, 1-cos t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a trajetória vetorial vec r(t)=(t-sin t,,1-cos t) no intervalo 0<= t<=2pi e queremos encontrar os instantes em que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor aceleração. O conteúdo principal aqui é derivação de funções vetoriais e condição de ortogonalidade via produto escalar. A teoria que vamos usar é: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: vamos obter o vetor velocidade derivando vec r(t). Para componentes temos:
v(t)=vec r,'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-cos t,;sin t)

Passo 3

Segundo passo de cálculo: derivamos novamente para obter o vetor aceleração:
a(t)=v'(t)=(sin t,;cos t)

Passo 4

Terceiro passo de cálculo: aplicamos a condição de ortogonalidade via produto escalar. Calculamos
v(t)cdot a(t)=(1-cos t)cdotsin t+sin tcdotcos t=sin tl(1-cos t+cos tr)=sin t

Passo 5

Quarto passo: impomos v(t)cdot a(t)=0, ou seja sin t=0. As soluções gerais são t=kpi. No intervalo dado 0<= t<=2pi isso corresponde a:
t=0,;pi,;2pi

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em t = 0, π e 2π.

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