Encontre
se
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o valor da integral definida [\displaystyle \int_{0}^{6} f(x),dx).
Informações fornecidas sobre a função
:
-
é uma função por partes dada por
- O ponto onde a definição muda é .]
Passo 2
Motivo para dividir a integral: a função tem duas fórmulas distintas em
, uma para
e outra para
. Quando uma função é definida por partes, a integral sobre um intervalo que cruza o ponto de mudança deve ser escrita como soma das integrais em cada subintervalo onde a função tem uma expressão única. Assim usamos a propriedade aditiva das integrais:
Aqui em
vale
e em
vale
. Portanto
Passo 3
Cálculo de
. Conceito usado: a integral de uma constante
é
vezes o comprimento do intervalo, porque uma antiderivada de
é
. Formalmente,
onde
é a constante de integração. Avaliando entre
e
:
Passo 4
Cálculo de
. Conceito usado: uma antiderivada de
é
, porque derivando
volta-se a
. Assim
Avaliando entre
e
:
Passo 5
Somando as duas parcelas obtidas:
Em forma decimal isto é
.
Passo 6
Verificação alternativa (intuição geométrica): interpretar a integral como área sob o gráfico. De
a
a função é constante
, área do retângulo de base
e altura
é
. De
a
a função é a reta
; a área sob essa reta entre
e
é um trapézio de bases
e
e altura
, cuja área é
. Soma dá
, confirmando o cálculo.