Encontre \int_{0}^{6} f(x) d x se
f(x)= \begin{cases}3, & \text { se } x<3 \\\ x, & \text { se } x \geqslant 3\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o valor da integral definida [\displaystyle \int_{0}^{6} f(x),dx).
Informações fornecidas sobre a função f:
  • f é uma função por partes dada por
f(x)= \begin{cases}3, & \text{se } x<3,\\[4pt] x, & \text{se } x\geqslant 3.\end{cases}
  • O ponto onde a definição muda é x=3\]. - O intervalo de integração é \([0,6].]

Passo 2

Motivo para dividir a integral: a função tem duas fórmulas distintas em [0,6], uma para x<3 e outra para x\geqslant 3. Quando uma função é definida por partes, a integral sobre um intervalo que cruza o ponto de mudança deve ser escrita como soma das integrais em cada subintervalo onde a função tem uma expressão única. Assim usamos a propriedade aditiva das integrais:
\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\int_{0}^{3} f(x)\,dx+\int_{3}^{6} f(x)\,dx.
Aqui em [0,3) vale f(x)=3 e em [3,6] vale f(x)=x. Portanto
\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\int_{0}^{3} 3\,dx+\int_{3}^{6} x\,dx.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{3} 3\,dx. Conceito usado: a integral de uma constante c é c vezes o comprimento do intervalo, porque uma antiderivada de c é c x. Formalmente,
\int 3\,dx=3x + C,
onde C é a constante de integração. Avaliando entre 0 e 3:
\int_{0}^{3} 3\,dx=\bigl[3x\bigr]_{0}^{3}=3\cdot 3 - 3\cdot 0 = 9.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int_{3}^{6} x\,dx. Conceito usado: uma antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}, porque derivando \tfrac{x^{2}}{2} volta-se a x. Assim
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Avaliando entre 3 e 6:
\int_{3}^{6} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{3}^{6}=\frac{6^{2}}{2}-\frac{3^{2}}{2}=\frac{36}{2}-\frac{9}{2}=\frac{27}{2}.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtidas:
\int_{0}^{6} f(x)\,dx = 9 + \frac{27}{2} = \frac{18}{2}+\frac{27}{2}=\frac{45}{2}.
Em forma decimal isto é 22{,}5.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição geométrica): interpretar a integral como área sob o gráfico. De x=0 a x=3 a função é constante 3, área do retângulo de base 3 e altura 3 é 9. De x=3 a x=6 a função é a reta y=x; a área sob essa reta entre 3 e 6 é um trapézio de bases 3 e 6 e altura 3, cuja área é \tfrac{(3+6)}{2}\cdot 3=\tfrac{9}{2}\cdot 3=\tfrac{27}{2}. Soma dá \tfrac{45}{2}, confirmando o cálculo.

Resposta

\dfrac{45}{2}=22{,}5

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