Considere as funções f e f \circ g definidas por f(x)=\ln \left(x^{3}\right)-2 e (f \circ g)(x)= \sqrt{x+1}. Determine as funções g e g^{-1}. A seguir determine o domínio e a imagem de g^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções ligadas por composição:
  • f(x)=\ln\!\left(x^{3}\right)-2.
  • (f\circ g)(x)=\sqrt{x+1}.
O que se pede:
  1. Determinar a função g.
  2. Determinar a função inversa g^{-1}.
  3. Determinar o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) de g^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A composição f(g(x)) é igual a \sqrt{x+1} para os x onde tudo está definido.
  • A função f envolve \ln, então só está definida para argumentos positivos (isto é, para entradas >0 em f).
  • A função composta envolve \sqrt{x+1}, então para a composição estar definida precisamos de x+1\ge 0, ou seja x\ge -1.

Passo 2

Escrever a igualdade da composição e usar propriedades algébricas para isolar g(x).
Começamos da igualdade dada:
(f\circ g)(x)=\sqrt{x+1}.
Pelo enunciado f(t)=\ln\!\left(t^{3}\right)-2. Substituindo t=g(x) obtemos
\ln\!\left((g(x))^{3}\right)-2=\sqrt{x+1}.

Passo 3

Resolver a equação envolvendo logaritmo para encontrar g(x).
Primeiro isolamos o logaritmo:
\ln\!\left((g(x))^{3}\right)=\sqrt{x+1}+2.
Agora usamos a inversa do logaritmo, a função exponencial: se \ln(u)=v então u=e^{v}. Aplicando isso,
(g(x))^{3}=e^{\sqrt{x+1}+2}.
Para obter g(x) tiramos raiz cúbica (ou elevamos a 1/3): como o lado direito é positivo, a raiz cúbica dá uma única resposta positiva:
g(x)=\left(e^{\sqrt{x+1}+2}\right)^{1/3}.
Podemos reescrever exponencialmente, usando e^{a+b}=e^{a}e^{b} e \left(e^{A}\right)^{1/3}=e^{A/3}:
g(x)=\exp\!\left(\frac{\sqrt{x+1}+2}{3}\right).

Passo 4

Verificação das condições de existência e domínio de g.
Para que a expressão g(x)=\exp\!\left(\dfrac{\sqrt{x+1}+2}{3}\right) faça sentido, precisamos que \sqrt{x+1} esteja definida, isto é x+1\ge 0. Logo o conjunto de x em que g está definida é
\mathrm{Dom}(g)=[-1,\infty).
Além disso, para todo x\in[-1,\infty) temos \sqrt{x+1}\ge 0, portanto o expoente \dfrac{\sqrt{x+1}+2}{3} é um número real e g(x)>0. Isso é coerente com o domínio de f (que exige argumento positivo), então a composição está bem definida em todo [-1,\infty).

Passo 5

Determinar g^{-1}: resolver y=g(x) para x em função de y.
Seja y=g(x). Então
y=\exp\!\left(\frac{\sqrt{x+1}+2}{3}\right).
Aplicamos logaritmo natural para isolar \sqrt{x+1}. Como y>0 (imagem de uma exponencial), \ln y está bem definido:
\ln y = \frac{\sqrt{x+1}+2}{3}.
Multiplicando por 3:
3\ln y = \sqrt{x+1}+2.
Isolando a raiz:
\sqrt{x+1}=3\ln y - 2.

Passo 6

Impor a condição de não-negatividade da raiz e continuar a resolver.
A expressão à direita deve ser não-negativa porque o lado esquerdo é \sqrt{x+1}\ge 0. Portanto
3\ln y - 2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln y \ge \tfrac{2}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad y \ge e^{2/3}.
Essa desigualdade dá o domínio natural de g^{-1}: só faz sentido calcular g^{-1}(y) para y\ge e^{2/3}.
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz (lembrando que o lado obtido é não-negativo, então não introduz soluções extranhas):
x+1 = \bigl(3\ln y - 2\bigr)^{2}.
Finalmente,
x = \bigl(3\ln y - 2\bigr)^{2} - 1.
Portanto, escrevendo g^{-1} como função de uma variável (usando a notação padrão g^{-1}(x)), temos
g^{-1}(x)=\bigl(3\ln x - 2\bigr)^{2} - 1,
com domínio x\ge e^{2/3}.

Passo 7

Encontrar a imagem de g^{-1} (que é a imagem da função inversa) e fazer interpretações finais.
A imagem de g^{-1} é o conjunto de valores x obtidos por g^{-1} ao variar seu argumento pelo domínio x\ge e^{2/3}. Pela relação inversa entre domínio/imagem de funções inversas, a imagem de g^{-1} é exatamente o domínio de g. Como já determinamos \mathrm{Dom}(g)=[-1,\infty), segue que
\mathrm{Im}(g^{-1})=[-1,\infty).
Também é útil ver intuitivamente a imagem de g (que é o domínio de g^{-1}): para x\in[-1,\infty) temos \sqrt{x+1}\in[0,\infty), então
g(x)=\exp\!\left(\frac{\sqrt{x+1}+2}{3}\right)
varia de e^{2/3} (quando x=-1) até +\infty (quando x\to\infty). Assim \mathrm{Im}(g)=[e^{2/3},\infty), que coincide com \mathrm{Dom}(g^{-1}) encontrado acima.

Resposta

g(x)=\exp\!\left(\dfrac{\sqrt{x+1}+2}{3}\right)\n
g^{-1}(x)=\bigl(3\ln x - 2\bigr)^{2}-1\n
\mathrm{Dom}\bigl(g^{-1}\bigr)=[e^{2/3},\infty)\n
\mathrm{Im}\bigl(g^{-1}\bigr)=[-1,\infty)

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