Considere as funções
e
definidas por
e
. Determine as funções
e
. A seguir determine o domínio e a imagem de
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções ligadas por composição:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar a função
. - Determinar a função inversa
. - Determinar o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A composição
é igual a para os onde tudo está definido. - A função
envolve , então só está definida para argumentos positivos (isto é, para entradas em ). - A função composta envolve
, então para a composição estar definida precisamos de , ou seja .
Passo 2
Escrever a igualdade da composição e usar propriedades algébricas para isolar
.
Começamos da igualdade dada:
Pelo enunciado
. Substituindo
obtemos
Passo 3
Resolver a equação envolvendo logaritmo para encontrar
.
Primeiro isolamos o logaritmo:
Agora usamos a inversa do logaritmo, a função exponencial: se
então
. Aplicando isso,
Para obter
tiramos raiz cúbica (ou elevamos a
): como o lado direito é positivo, a raiz cúbica dá uma única resposta positiva:
Podemos reescrever exponencialmente, usando
e
:
Passo 4
Verificação das condições de existência e domínio de
.
Para que a expressão
faça sentido, precisamos que
esteja definida, isto é
. Logo o conjunto de
em que
está definida é
Além disso, para todo
temos
, portanto o expoente
é um número real e
. Isso é coerente com o domínio de
(que exige argumento positivo), então a composição está bem definida em todo
.
Passo 5
Determinar
: resolver
para
em função de
.
Seja
. Então
Aplicamos logaritmo natural para isolar
. Como
(imagem de uma exponencial),
está bem definido:
Multiplicando por
:
Isolando a raiz:
Passo 6
Impor a condição de não-negatividade da raiz e continuar a resolver.
A expressão à direita deve ser não-negativa porque o lado esquerdo é
. Portanto
Essa desigualdade dá o domínio natural de
: só faz sentido calcular
para
.
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz (lembrando que o lado obtido é não-negativo, então não introduz soluções extranhas):
Finalmente,
Portanto, escrevendo
como função de uma variável (usando a notação padrão
), temos
com domínio
.
Passo 7
Encontrar a imagem de
(que é a imagem da função inversa) e fazer interpretações finais.
A imagem de
é o conjunto de valores
obtidos por
ao variar seu argumento pelo domínio
. Pela relação inversa entre domínio/imagem de funções inversas, a imagem de
é exatamente o domínio de
. Como já determinamos
, segue que
Também é útil ver intuitivamente a imagem de
(que é o domínio de
): para
temos
, então
varia de
(quando
) até
(quando
). Assim
, que coincide com
encontrado acima.