Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a primitiva (a integral indefinida) da função cujo integrando é
. Em outras palavras, encontrar uma função
tal que
.
Informações dadas e observações importantes:
- O integrando é
. - É uma integral indefinida, então a resposta virá com constante de integração
. - Note que
envolve raiz quadrada (exponente ), portanto a expressão é real para ou . Isso será comentado no final.
Passo 2
Escolha do método: observar a estrutura do integrando. Quando aparece uma função composta como
e multiplicada por algo que lembra a derivada de
, é natural tentar a substituição
parte interior. Aqui a derivada de
é
, e temos um fator
multiplicando — perfeito para uma substituição simples que transforma a integral numa potência de
.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Substitua na integral original:
Passo 4
Simplificar o fator constante e aplicar a regra de potência para integrais. Colocando a constante fora da integral:
Regra de potência para primitiva: para
,
Aqui
, portanto
. Aplicando:
Passo 5
Simplificar as constantes numéricas:
Logo a primitiva em
é
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas pedagógico): derivando para checar se volta ao integrando original. Derivada de
pelo teorema da cadeia:
que é exatamente o integrando, então está correto.
Passo 8
Comentário sobre domínio: a expressão
é real para
ou
. A primitiva encontrada é válida em cada intervalo onde a função integranda é contínua; em geral pode-se acrescentar que a constante de integração pode ser diferente em cada componente do domínio contínuo.