Encontre as integrais abaixo:
\int x\left(x^{2}-4\right)^{7 / 2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a primitiva (a integral indefinida) da função cujo integrando é x\left(x^{2}-4\right)^{7/2}. Em outras palavras, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x\left(x^{2}-4\right)^{7/2}.
Informações dadas e observações importantes:
  • O integrando é x\left(x^{2}-4\right)^{7/2}.
  • É uma integral indefinida, então a resposta virá com constante de integração C.
  • Note que \left(x^{2}-4\right)^{7/2} envolve raiz quadrada (exponente /2), portanto a expressão é real para x\le -2 ou x\ge 2. Isso será comentado no final.

Passo 2

Escolha do método: observar a estrutura do integrando. Quando aparece uma função composta como \left(x^{2}-4\right)^{7/2} e multiplicada por algo que lembra a derivada de x^{2}-4, é natural tentar a substituição u= parte interior. Aqui a derivada de x^{2}-4 é 2x, e temos um fator x multiplicando — perfeito para uma substituição simples que transforma a integral numa potência de u.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = x^{2}-4.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx}=2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substitua na integral original:
\int x\left(x^{2}-4\right)^{7/2}dx = \int \left(u^{7/2}\right)\left(\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 4

Simplificar o fator constante e aplicar a regra de potência para integrais. Colocando a constante fora da integral:
\int x\left(x^{2}-4\right)^{7/2}dx = \frac{1}{2}\int u^{7/2}\,du.
Regra de potência para primitiva: para p\neq -1,
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=\tfrac{7}{2}, portanto p+1=\tfrac{9}{2}. Aplicando:
\frac{1}{2}\int u^{7/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{9/2}}{9/2}+C.

Passo 5

Simplificar as constantes numéricas:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{9} = \frac{1}{9}.
Logo a primitiva em u é
\frac{1}{9}u^{9/2}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x substituindo u=x^{2}-4:
\frac{1}{9}\left(x^{2}-4\right)^{9/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas pedagógico): derivando para checar se volta ao integrando original. Derivada de \dfrac{1}{9}\left(x^{2}-4\right)^{9/2} pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{9}\left(x^{2}-4\right)^{9/2}\right] = \frac{1}{9}\cdot\frac{9}{2}\left(x^{2}-4\right)^{7/2}\cdot 2x = x\left(x^{2}-4\right)^{7/2},
que é exatamente o integrando, então está correto.

Passo 8

Comentário sobre domínio: a expressão \left(x^{2}-4\right)^{7/2} é real para x\le -2 ou x\ge 2. A primitiva encontrada é válida em cada intervalo onde a função integranda é contínua; em geral pode-se acrescentar que a constante de integração pode ser diferente em cada componente do domínio contínuo.

Resposta

\dfrac{1}{9}\left(x^{2}-4\right)^{9/2}+C

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