Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada)
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Pedido: encontrar uma função
tal que (ou seja, calcular a integral indefinida).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar).
Quando a integral contém uma expressão do tipo e junto aparece uma coisa parecida com a derivada de
, fica natural fazer a substituição
. A substituição transforma a integral em uma em
mais simples.
Quando a integral contém uma expressão do tipo
Regra da substituição (em palavras): se fizermos
, então
. Assim podemos trocar
e reescrever a integral em termos de
. Depois integramos em
usando regras básicas (por exemplo, a regra da potência:
para
) e retornamos a
substituindo
.
No nosso caso observe que
tem derivada
. No integrando temos exatamente um fator
, que é proporcional a
. Isso indica que a substituição
vai simplificar a integral.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
Escolhemos
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto
Agora substituímos na integral original:
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 4
Integrar em
usando a regra da potência.
A regra da potência diz que, para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Portanto uma primitiva da função dada é
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (checagem usando a regra da cadeia).
Diferenciando para checar:
Diferenciando
pela regra da cadeia (derivada de
é
). Simplificando:
que é exatamente o integrando original. A primitiva está correta.