Encontre as integrais abaixo:
\int y\left(y^{2}+5\right)^{8} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada)
\int y\left(y^{2}+5\right)^{8}\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração é y.
  • O integrando é y\left(y^{2}+5\right)^{8}.
  • Pedido: encontrar uma função F(y) tal que F'(y)=y\left(y^{2}+5\right)^{8} (ou seja, calcular a integral indefinida).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar).
Quando a integral contém uma expressão do tipo \left(g(y)\right)^{n} e junto aparece uma coisa parecida com a derivada de g(y), fica natural fazer a substituição u=g(y). A substituição transforma a integral em uma em u mais simples.
Regra da substituição (em palavras): se fizermos \,u=g(y)\,, então \,du=g'(y)\,dy. Assim podemos trocar dy e reescrever a integral em termos de u. Depois integramos em u usando regras básicas (por exemplo, a regra da potência: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1) e retornamos a y substituindo u=g(y).
No nosso caso observe que g(y)=y^{2}+5 tem derivada g'(y)=2y. No integrando temos exatamente um fator y\,dy, que é proporcional a g'(y)\,dy. Isso indica que a substituição u=y^{2}+5 vai simplificar a integral.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
Escolhemos
u = y^{2}+5.
Diferenciando ambos os lados em relação a y obtemos
du = 2y\,dy.
Portanto
y\,dy = \frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original:
\int y\left(y^{2}+5\right)^{8}\,dy = \int \left(u\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Colocando o fator constante fora da integral:
\int y\left(y^{2}+5\right)^{8}\,dy = \frac{1}{2}\int u^{8}\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a regra da potência.
A regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=8, então
\int u^{8}\,du=\frac{u^{9}}{9}+C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int u^{8}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{9}}{9}+C=\frac{u^{9}}{18}+C.

Passo 5

Voltar à variável y substituindo u=y^{2}+5:
Portanto uma primitiva da função dada é
F(y)=\frac{\left(y^{2}+5\right)^{9}}{18}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (checagem usando a regra da cadeia).
Diferenciando F(y) para checar:
F'(y)=\frac{1}{18}\cdot 9\left(y^{2}+5\right)^{8}\cdot 2y
pela regra da cadeia (derivada de \left(y^{2}+5\right)^{9} é 9\left(y^{2}+5\right)^{8}\cdot (2y)). Simplificando:
F'(y)=\frac{9\cdot 2y}{18}\left(y^{2}+5\right)^{8}=y\left(y^{2}+5\right)^{8},
que é exatamente o integrando original. A primitiva está correta.

Resposta

\frac{\left(y^{2}+5\right)^{9}}{18}+C

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