Encontre a integral indefinida (Regra de substituição)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a Regra de Substituição. O enunciado que temos é:
Para isso, vamos precisar entender a técnica de substituição, que é usada para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para a integral:
Percebo que a derivada de
em relação a
é
. Isso é útil porque temos
multiplicando
. Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Podemos reorganizar isso para expressar
em termos de
:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
se necessário, mas nesse caso, já temos uma expressão direta para
que se encaixa na integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição
e
:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Agora, a integral ficou muito mais simples:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos voltar à variável original
, substituindo
por
:
Podemos simplificar os coeficientes:
Resposta
A integral indefinida é: