Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral (ln x)^205 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a Regra de Substituição. O enunciado que temos é:
integral (ln x)^205 x , dx
Para isso, vamos precisar entender a técnica de substituição, que é usada para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para a integral:
(ln x)^205 x
Percebo que a derivada de ln x em relação a x é 1x. Isso é útil porque temos 1x multiplicando (ln x)^20. Então, vamos fazer a substituição:
u = ln x

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du:
du = 1x dx
Podemos reorganizar isso para expressar dx em termos de du:
dx = x , du
Mas como u = ln x, podemos expressar x em termos de u se necessário, mas nesse caso, já temos uma expressão direta para du que se encaixa na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição u = ln x e du = 1x dx:
integral u^205 , du
Aqui, substituímos (ln x)^20 por u^20 e 1x dx por du.

Passo 5

Agora, a integral ficou muito mais simples:
15 integral u^20 , du
Vamos integrar u^20 em relação a u:
15 cdot u^2121 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original x, substituindo u por ln x:
15 cdot (ln x)^2121 + C
Podemos simplificar os coeficientes:
(ln x)^21105 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral (ln x)^205 x , dx = (ln x)^21105 + C

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