Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}. O conteúdo aqui é encontrar o intervalo de convergência de uma série de potência; para isso, vamos usar o teste da razão de Cauchy.

Passo 2

Considerando o termo geral a_k = \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}, aplicamos o teste da razão:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{(-1)^{k+1} x^{2(k+1)}/(2(k+1))!}{(-1)^k x^{2k}/(2k)!}\right| = \frac{|x|^2}{(2k+2)(2k+1)}.
Ao tomar k\to\infty, o denominador cresce sem limite, logo
\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^2}{(2k+2)(2k+1)} = 0.
Como esse limite é menor que 1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 3

Do teste da razão concluímos que o raio de convergência é R=\infty, ou seja, a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A série converge para x em (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados