Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2(k+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{2\,(k+1)!}
O conteúdo aqui é séries de potência e vamos usar principalmente o teste da razão para achar o raio de convergência

Passo 2

Definimos
a_k = \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2\,(k+1)!}
e calculamos o quociente em valor absoluto:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{|x|^{2(k+1)+1}}{2\,(k+2)!}\,\frac{2\,(k+1)!}{|x|^{2k+1}} = \frac{|x|^2}{k+2}

Passo 3

Tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{|x|^2}{k+2} = 0
Como L<1 para qualquer x, o raio de convergência é infinito

Resposta

O intervalo de convergência é \bigl(-\infty,\infty\bigr)

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