Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumn=1^infty (-1)^nn!(x-3)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
sumn=1^infty (-1)^nn!(x-3)^n
Isso envolve entender séries de potência e como determinar onde elas “funcionam”, ou seja, para quais valores de a série converge. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta muito útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir o raio de convergência das séries de potência. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se an = (-1)^nn!(x-3)^n , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, os termos da série são:

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)!(x-3)^n+1 cdot n!(-1)^n(x-3)^n |
Simplificando os termos:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)! cdot n!(-1)^n cdot (x-3) | = limn to infty | -1n+1 cdot (x-3) | = limn to infty |x-3|n+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty |x-3|n+1 = 0
Como , isso significa que a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é . Ou seja, a série converge para todo número real .

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