Encontre os valores de
para os quais a série
. converge e determine a soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de
para os quais a série
converge e também determinar a soma dessa série. Vamos usar o conceito de séries geométricas, que é a parte da matemática que nos ajuda a resolver isso. Para isso, precisamos identificar a razão da série e aplicar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série
é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série. No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
Passo 3
Agora, para que uma série geométrica converja, a razão
deve satisfazer a condição:
Substituindo
pela nossa expressão, temos:
Como
, podemos simplificar os valores absolutos:
Passo 4
Resolvendo a desigualdade
:
Como
já está dado no enunciado, combinando as duas condições, temos:
Portanto, a série converge para valores de
entre 0 e 1.
Passo 5
Agora que sabemos para quais valores de
a série converge, vamos determinar a soma da série. A soma de uma série geométrica infinita
é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
A série
converge para todos os valores de
no intervalo
e sua soma é: