Encontre a inversa de cada matriz dada se possível:
B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz B de ordem 3. O conteúdo aqui é cálculo de matriz inversa usando determinante e adjunta (matriz dos cofatores). Para isso vamos:
  1. Calcular \det(B) e verificar que ele é diferente de zero (condição de invertibilidade).
  2. Construir a matriz de cofatores de B e obter a adjunta \adj(B) como a transposta dessa matriz de cofatores.
  3. Usar a fórmula
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\adj(B).
A matriz original é
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 2

Calcular o determinante de B pelo método de desenvolvimento na primeira linha:
\det(B) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1, \quad \det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1=-2, \quad \det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Logo,
\det(B)=1\cdot(-1)-2\cdot(-2)+1\cdot(-1)=-1+4-1=2\neq0,
portanto B é invertível.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor obtido eliminando linha i e coluna j. Calculando todos:
C=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta de B é a transposta de C:
\adj(B)=C^{T} =\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa:
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\adj(B) =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac32\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac32\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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