Questão 22 Expresse cada matriz como produto de matrizes elementares.
B=\left[\begin{array}{rr}3 & 6 \\\\ -2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
B = \begin{pmatrix}3 & 6 \\[6pt] -2 & 4\end{pmatrix}
como produto de matrizes elementares.
Uma matriz elementar corresponde a uma operação elementar de linha. A estratégia é achar operações que reduzem B à identidade, registrar as matrizes elementares E_i usadas e depois inverter essa sequência para obter
B = E_1^{-1} \,E_2^{-1}\,E_3^{-1}\,E_4^{-1}.]

Passo 2

Fazemos eliminação de Gauss em B e escrevemos cada operação como multiplicação à esquerda por uma matriz elementar:
  1. R_1\to \tfrac13 R_1.
E_1 = \begin{pmatrix}\tfrac13 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad E_1 B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
  1. R_2\to R_2 + 2R_1.
E_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, \quad E_2 E_1 B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}.
  1. R_2\to \tfrac18 R_2.
E_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac18\end{pmatrix}, \quad E_3 E_2 E_1 B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. R_1\to R_1 - 2R_2.
E_4 = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad E_4 E_3 E_2 E_1 B = I_2.
Assim,
E_4\,E_3\,E_2\,E_1\,B = I_2.]

Passo 3

Como E_4E_3E_2E_1B=I_2, temos
B = \bigl(E_4E_3E_2E_1\bigr)^{-1} = E_1^{-1}\,E_2^{-1}\,E_3^{-1}\,E_4^{-1}.
Cada E_i^{-1} também é elementar:
E_1^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad E_2^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}, \quad E_3^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}, \quad E_4^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Substituindo, obtemos a fatoração final:
B = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

B = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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