Encontre a inversa de cada matriz dada se possível:
C=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de C. Sabemos que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0. Portanto, vamos calcular \det\text{(C)} para verificar se existe inversa.

Passo 2

Calculamos o determinante de
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
pela expansão na primeira linha:
\det\text{(C)} =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = 0\cdot4 - 2\cdot1 = -2,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 0\cdot3 - 1\cdot1 = -1.
Logo,
\det\text{(C)} = 1\cdot(-2) - 2\cdot(-2) + 2\cdot(-1) = -2 + 4 - 2 = 0.
Como \det\text{(C)}=0, a matriz C não é invertível.

Resposta

A matriz C não possui inversa porque \det\text{(C)}=0.

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