Encontre a inversa de cada matriz dada se possível:
D=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é matriz inversa: para uma matriz quadrada D, se \det(D)\neq0 então
D^{-1} \;=\;\frac{1}{\det(D)}\,\mathrm{adj}(D),
onde \mathrm{adj}(D) é a transposta da matriz de cofatores de D. Vamos calcular o determinante, os cofatores e montar a adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de D por expansão na primeira linha:
\det(D) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix}=1\cdot1 - 1\cdot(-1)=2,
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=2\cdot1 -1\cdot3=-1,
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}=2\cdot(-1) -1\cdot3=-5.
Logo
\det(D)=1\cdot2 -1\cdot(-1) +(-1)\cdot(-5) =2 +1 +5 =8.

Passo 3

Como \det(D)=8\neq0, D é inversível. Agora calculamos a matriz de cofatores C, em que cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o cofator correspondente ao menor M_{ij}. Isso dá
C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5\\\\ 0 & 4 & 4\\\\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\mathrm{adj}(D)=C^T =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 1 & 4 & -3\\\\ -5 & 4 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, dividimos a adjunta por \det(D):
D^{-1} =\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 1 & 4 & -3\\\\ -5 & 4 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

D^{-1} =\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 1 & 4 & -3\\\\ -5 & 4 & -1 \end{pmatrix}.

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