Encontre isomorfismos entre os espaços E e F dados abaixo:
(1) E=R^2, F=(x, y, z, w) in R^4: x+y=0, z+w=0;

Passo 1

O enunciado pede um isomorfismo entre E=R^2 e
F=(x,y,z,w)inR^4:x+y=0,;z+w=0.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais finito–dimensionais: em particular, como dimE=2 e as duas equações em R^4 reduzem a dimensão de F também a 2, basta exibir um mapeamento linear bijetivo de R^2 para F.

Passo 2

Encontramos uma base de F observando que em
x+y=0implies y=-x, z+w=0implies w=-z
podemos tomar (x,z) como variáveis livres. Portanto vetores geradores são
v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,-1),
que formam uma base de F.

Passo 3

Definimos o isomorfismo phi:R^2toF mandando
phi(a,b)=a,v1+b,v2=(a,-a,b,-b)
Esse phi é linear, injetivo (se phi(a,b)=0 então a=0 e b=0) e sobrejetivo (todo (x,y,z,w) em F satisfazendo y=-x, w=-z sai da forma (x,-x,z,-z)=phi(x,z)).

Resposta

Um isomorfismo conveniente é
phi:R^2toF, phi(a,b)=(a,-a,b,-b),
com inversa
phi^-1(x,y,z,w)=(x,z)

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