Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
lim x -infty x^3+3 x^2-8 xx^4-x^3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o limite de uma função quando tende a menos infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, especificamente para funções racionais (que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração:
x^3 + 3x^2 - 8xx^4 - x^3 + 2
No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador, o termo de maior grau é . Em limites no infinito, os termos de maior grau são os que mais influenciam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador pelo termo de maior grau do denominador, que é x^3x^4 + 3x^2x^4 - 8xx^4x^4x^4 - x^3x^4 + 2x^4 . Isso ajuda a simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.
1x + 3x^2 - 8x^31 - 1x + 2x^4
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando tende a menos infinito ( ):
  • tende a 0 porque quanto maior o valor absoluto de , menor fica o valor de .
  • também tende a 0, pois cresce rapidamente.
  • O mesmo vale para e .

Passo 5

Substituindo esses comportamentos na expressão simplificada:
0 + 0 - 01 - 0 + 0 = 01 = 0
Isso significa que o limite da função quando tende a menos infinito é 0.

Resposta

lim x -infty x^3+3 x^2-8 xx^4-x^3+2 = 0

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